Interested Article - NP-полная задача

Взаимоотношение между классами P, NP, NP-complete (NP-полными задачами), NP-hard (NP-трудными задачами) в случае, если P≠NP и если P=NP

NP-полная задача — в теории алгоритмов задача с ответом «да» или «нет» из класса NP , к которой можно свести любую другую задачу из этого класса за полиномиальное время (то есть при помощи операций, число которых не превышает некоторого полинома в зависимости от размера исходных данных). Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них будет найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любую другую задачу из класса NP можно будет решить так же «быстро».

Формальное определение

Алфавитом называется всякое конечное множество символов (например, { } или { }). Множество всех возможных слов (конечных строк , составленных из символов этого алфавита) над некоторым алфавитом обозначается . Языком над алфавитом называется всякое подмножество множества , то есть .

Задачей распознавания для языка называется определение того, принадлежит ли данное слово языку .

Пусть и — два языка над алфавитом . Язык называется сводимым (по Карпу) к языку , если существует функция , , вычислимая за полиномиальное время , обладающая следующим свойством:

  • тогда и только тогда, когда . Сводимость по Карпу обозначается как или .

Язык называется NP-трудным , если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным , если он NP-труден, и при этом сам лежит в классе NP.

Неформально говоря, то что задача сводится к задаче , означает, что задача «не сложнее» задачи (так как, если мы можем решить , то можем решить и ). Таким образом, класс NP-трудных задач включает NP-полные задачи и задачи, которые «сложнее» их (то есть те задачи, к которым могут быть сведены NP-полные задачи). Класс NP включает NP-полные задачи и задачи, которые «легче» их (то есть те задачи, которые сводятся к NP-полным задачам).

Из определения следует, что, если будет найден алгоритм, решающий некоторую (любую) NP-полную задачу за полиномиальное время, то все NP-задачи окажутся в классе P , то есть будут решаться за полиномиальное время.

NP-полнота в сильном смысле

Задача называется NP-полной в сильном смысле , если у неё существует подзадача, которая:

  1. не является (то есть максимальное значение величин, встречающихся в этой задаче, ограничено сверху полиномом от длины входа)
  2. является NP-полной.

Класс таких задач называется NPCS . Если гипотеза P ≠ NP верна, то для NPCS-задачи не существует псевдополиномиального алгоритма [ источник не указан 2401 день ] .

Гипотеза P ≠ NP

Вопрос о совпадении классов P и NP уже более тридцати лет является одной из центральных открытых проблем . Научное сообщество склоняется к отрицательному ответу на этот вопрос — в этом случае решать NP-полные задачи за полиномиальное время не удастся.

Примеры NP-полных задач

См. также

Примечания

  1. William I. Gasarch. (неопр.) // SIGACT News. — 2002. — Т. 33 , № 2 . — С. 34—47 . — doi : . 15 июня 2007 года.
  2. Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, David Liben-Nowell. (англ.) . preprint.
  3. Abel, Z.; Demaine, E.D.; Demaine, M.L.; Eisenstat, S.; Lynch, J.; Schardl, T.B. (2013). . Journal of Information Processing . 21 (3): 368—377. из оригинала 5 декабря 2023 . Дата обращения: 5 декабря 2023 .

Литература

  • Гэри М., Джонсон Д. от 4 ноября 2019 на Wayback Machine . М.: Мир, 1982.
  • Томас Х. Кормен и др. Глава 34. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М. : , 2006. — 1296 с. — ISBN 0-07-013151-1 .
  • Джон Хопкрофт , Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М. : , 2002. — 528 с. — ISBN 0-201-44124-1 .

Ссылки


Источник —

Same as NP-полная задача