Адиабатический процесс
- 1 year ago
- 0
- 0
Адиабатический инвариант — физическая величина , которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе .
Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»( др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.
Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау ) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.
В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.
В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом и зависит от параметра , адиабатичность изменения параметра определяется условием
Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра
Внутренние переменные и меняются со временем быстро, с периодом . Но энергия системы является интегралом движения при неизменном параметре . При изменении параметра во времени
При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр неизменен.
где усреднение определено как
Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной :
В таком случае период равен
где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.
Записывая импульс как функцию энергии , координаты и параметра, после некоторых преобразований можно получить
Окончательно можно записать
где величина
и будет адиабатическим инвариантом.
Интеграл , входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы , поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость , образуемую множеством точек с координатами и . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.
Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться
Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор . Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид
где — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии и поэтому имеет вид
Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями и , соответственно его площадь, делённая на , равна . Таким образом, величина является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.
Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на .
или
где — циклическая частота.
С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса . Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной .