Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей . Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» ${\displaystyle \xi }$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией ${\displaystyle y=\xi (\omega )}$ , значения ${\displaystyle y}$ которой численно выражают исходы ${\displaystyle \omega }$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость , что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции ${\displaystyle \xi (\omega )}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Как функция, случайная величина ${\displaystyle \xi (\omega )}$ не является вероятностью наступления события ${\displaystyle \omega }$ , а возвращает численное выражение исхода ${\displaystyle \omega }$ . Важными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия .

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин, являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой . Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя ). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.

Существует ряд задач математического анализа и теории чисел , для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах .

История

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышёвым , который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867) . Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933) , после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию , определённую на вероятностном пространстве . В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к , где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Определение

Формальное математическое определение следующее: пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство , тогда случайной величиной называется функция ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }$ , измеримая относительно ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и борелевской σ-алгебры на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением .

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом . Функция ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ множество таких событий ${\displaystyle \omega }$ , что ${\displaystyle \xi (\omega )\in (a,b)}$ , принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .

Способы задания

Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения , плотности вероятности и характеристической функции , определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа ${\displaystyle x}$ . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Другим способом задания случайной величины является функциональное преобразование случайной величины ${\displaystyle \xi }$ . Если ${\displaystyle f(x)}$ — борелевская функция , то ${\displaystyle \eta =f(\xi )}$ также является случайной величиной. Например, если ${\displaystyle \xi }$ — стандартная нормальная случайная величина , то случайная величина ${\displaystyle \chi ^{2}=\xi ^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера , распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если случайная величина дискретная, то есть мощность множества ${\displaystyle \xi (\Omega )}$ не более чем счётно , то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей ${\displaystyle p(x)=\mathbb {P} (\xi =x)=\mathbb {P} (\{\omega :\xi (\omega )=x\}),\;x\in \xi (\Omega )}$ всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта ${\displaystyle N}$ раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью ${\displaystyle p}$ , «неудача» — с вероятностью ${\displaystyle q=1-p}$ . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли :

${\displaystyle P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}}$ .

Если при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности произведение ${\displaystyle np}$ остаётся равной константе ${\displaystyle \lambda >0}$ , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона , который описывается следующей формулой:

${\displaystyle p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$ ,

где

• символ « ${\displaystyle !}$ » обозначает факториал ,
• ${\displaystyle e=2.7182818284\ldots }$ — основание натурального логарифма .

Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$ в линейном нормированном пространстве X в вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ называется интеграл

${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )}$

(в предположении, что функция ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$ является интегрируемой).

Дисперсией случайной величины ${\displaystyle \xi }$ называется величина, равная:

${\displaystyle \operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.}$

В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение ${\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}}$ или ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ . Величина ${\displaystyle \sigma }$ , равная

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {D} \xi }}}$

называется среднеквадратическим отклонением , стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Ковариацией случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ называется следующая величина:

${\displaystyle \mathrm {cov} (\xi ,\eta )}$ = ${\displaystyle \operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })}$

(предполагается, что математические ожидания определены).

Если ${\displaystyle \mathrm {cov} (\xi ,\eta )}$ = 0, то случайные величины ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ называются не коррелированными . Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно .

Функция концентрации величины ${\displaystyle \xi }$ называется функция ${\displaystyle Q_{F}}$ , заданная на неотрицательной полуоси следующим образом:

${\displaystyle Q_{F}(x)=\sup _{t\in R}(F(t+x+0)-F(t))}$ .

Функции от случайных величин

Если ${\displaystyle f(x)}$ — борелевская функция , а ${\displaystyle \xi }$ — случайная величина, то ее функциональное преобразование ${\displaystyle \eta =f(\xi )}$ также является случайной величиной. Например, если ${\displaystyle \xi }$ — стандартная нормальная случайная величина , случайная величина ${\displaystyle \chi ^{2}=\xi ^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера и распределение Стьюдента , являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ с совместным распределением ${\displaystyle F_{\xi \eta }(x,y)}$ , а ${\displaystyle \phi =\phi (x,y)}$ — некоторая борелевская функция, то для ${\displaystyle \zeta =\phi (\xi ,\eta )}$ справедливо :

${\displaystyle F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y)~.}$

Если ${\displaystyle \phi (x,y)=x+y}$ , ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ независимы, то ${\displaystyle F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)}$ . Применяя теорему Фубини , получаем:

${\displaystyle F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(z-x)dF_{\xi }(x)}$

и аналогично:

${\displaystyle F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(z-y)dF_{\eta }(y)~.}$

Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ функции распределения, то функцию

${\displaystyle H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(z-x)dG(x)}$

называют свёрткой ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ и обозначают ${\displaystyle F*G}$ .
Характеристическая функция ${\displaystyle \zeta =\xi +\eta }$ суммы независимых случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ является преобразованием Фурье свёртки ${\displaystyle F*G}$ функций распределения ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ и равна произведения характеристических функций ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ :

${\displaystyle \phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.}$

Примеры

Дискретная случайная величина

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени .

Подбрасывание монеты

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий ${\displaystyle \Omega =\{}$ орёл, решка ${\displaystyle \}}$ или кратко ${\displaystyle \{op,pe\}}$ . Пусть случайная величина ${\displaystyle \xi }$ равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

${\displaystyle \xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{если }}\omega ={\text{op}},\\[6pt]-33,&{\text{если }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}}$

Если монета идеальная, то выигрыш ${\displaystyle \xi }$ будет иметь вероятность, заданную как:

${\displaystyle P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=-33,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle P(\xi =y)}$ — вероятность получения ${\displaystyle y}$ рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.

Бросание игральных костей

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$ , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины ${\displaystyle \xi }$ , которая задаётся функцией:

${\displaystyle \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$

и (если кости идеальные) функция вероятности для ${\displaystyle \xi }$ задаётся через:

${\displaystyle P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$ ,

где ${\displaystyle S}$ — сумма очков на выпавших костях.

Колода карт

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт . Тогда ${\displaystyle \omega }$ будет представлять одну из вытянутых карт; здесь ${\displaystyle \omega }$ не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ ${\displaystyle \omega }$ . Тогда функция ${\displaystyle \xi (\omega )}$ , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту ${\displaystyle \omega }$ . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть ${\displaystyle \omega =K_{\clubsuit }}$ , тогда после подставления этого исхода в функцию ${\displaystyle \xi (K_{\clubsuit })}$ , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом ${\displaystyle K_{\clubsuit }}$ эти операции проводить было нельзя.

Абсолютно непрерывная случайная величина

Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция ${\displaystyle p(x)}$ , удовлетворяющая при любых ${\displaystyle x}$ равенству ${\displaystyle P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz}$ . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция ${\displaystyle p(x)}$ называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Рост случайного прохожего

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ${\displaystyle \omega }$ ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина ${\displaystyle \xi }$ выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина ${\displaystyle \xi }$ интерпретируется как функция ${\displaystyle y=\xi (\omega )}$ , которая трансформирует каждого испытуемого ${\displaystyle \omega }$ в число — его рост ${\displaystyle y}$ . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности ${\displaystyle \xi }$ , которое в совокупности с ${\displaystyle \xi }$ и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

• Измеримая функция ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ называется ${\displaystyle n}$ -мерным случайным вектором (относительно борелевской ${\displaystyle \sigma }$ -алгебры на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).
• Измеримая функция ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}}$ называется ${\displaystyle n}$ -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской ${\displaystyle \sigma }$ -алгебры ).
• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

См. также

• Теория вероятностей
• Алгебра событий
• Случайное событие
• Пространство элементарных событий
• Вероятность
• Функция распределения
• Математическое ожидание
• Дисперсия случайной величины
• Закон больших чисел
• Центральная предельная теорема
• Случайный процесс

Примечания

Литература

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М. : Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8 .
• Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
• Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М. : Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0 .
• Чернова Н. И. . — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки