Квантовая механика
История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги , в квантовой теории поля , основное уравнение движения , обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей ${\displaystyle \Psi [\sigma ]}$ . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}={\mathcal {H}}(x)\Psi [\sigma ],}$

где ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ — плотность гамильтониана

${\displaystyle H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .}$

${\displaystyle x=(x^{0},\mathbf {x} )}$ — координата в пространстве Минковского ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности , также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].}$

Пространственноподобные гиперповерхности ${\displaystyle \sigma }$ определяются трёхмерным многообразием в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке ${\displaystyle x\in \sigma }$ гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

${\displaystyle n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,}$

являющийся времениподобным

${\displaystyle n^{0}(x)\geqslant 1.}$

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением . Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности ${\displaystyle \sigma }$ координатами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , тогда точки ${\displaystyle x\in \sigma }$ могут быть представлены в виде ${\displaystyle x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )}$ . Таким образом, каждая точка ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$ имеет собственную переменную времени ${\displaystyle x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )}$ .

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку ${\displaystyle x\in \sigma }$ и варьированную гиперповерхность ${\displaystyle \sigma +\delta \sigma }$ , отличную от ${\displaystyle \sigma }$ лишь в некоторой окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ . Через ${\displaystyle \Omega (x)}$ обозначим объём четырёхмерной области , заключённой между ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \sigma +\delta \sigma }$ . Тогда функциональная производная ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \sigma (x)}}}$ произвольного функционала ${\displaystyle F[\sigma ]}$ , приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа , определяется следующим образом

${\displaystyle {\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {F[\sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x)}}.}$

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как

${\displaystyle \rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger }(\sigma ,\sigma _{0}),}$

где ${\displaystyle U(\sigma ,\sigma _{0})}$ — унитарный оператор эволюции , имеющий вид

${\displaystyle U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0}}^{\sigma }{\mathcal {H}}(x)d^{4}x\right],}$

где ${\displaystyle \mathrm {Texp} }$ — упорядоченная по времени экспонента. ${\displaystyle \rho (\sigma _{0})}$ — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности ${\displaystyle \sigma _{0}}$ . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

${\displaystyle \Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),}$

где ${\displaystyle \Psi (\sigma _{0})}$ — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости , требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности ${\displaystyle \sigma }$ :

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}}-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}}=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .}$

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

${\displaystyle [{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (x-y)^{2}<0.}$

Действительно, с учётом тождества Якоби , имеем:

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}}-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}}=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .}$

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ определяется гладким однопараметрическим семейством

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}}$

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ с тем свойством, что каждая точка ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{1,3}}$ принадлежит одной и только одной гиперповерхности ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).}$

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке ${\displaystyle x}$ как ${\displaystyle \sigma _{x}}$ . Фиксированное расслоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ порождает семейство векторов-состояний

${\displaystyle |\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).}$

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

${\displaystyle |\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0}}^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H}}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.}$

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью ${\displaystyle \sigma _{0}=\sigma (0)}$ и гиперповерхностью ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ семейства, которое всецело лежит в будущем ${\displaystyle \sigma _{0}}$ .

Пусть гиперповерхности ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ могут быть определены неявным выражением

${\displaystyle {\tilde {f}}(x,\tau )=0,}$

где ${\displaystyle {\tilde {f}}(x,\tau )}$ — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

${\displaystyle n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }}}}}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x^{\mu }}}.}$

Для удобство нормируем функцию ${\displaystyle f(x,\tau )=0}$ определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

${\displaystyle n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu }}}.}$

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),}$

где интегрирование выполняется по гиперповерхности ${\displaystyle \sigma (\tau )\in {\mathcal {F}}}$ . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

${\displaystyle \int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)d\sigma (x)=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)d\sigma (x)=H(\tau )}$

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .}$

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность ${\displaystyle \sigma }$ .

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений .

Примечания

Литература

• Боголюбов Н. Н. , Ширков Д. В . Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
• Бройер Х.-П. , Петруччионе Ф. . Теория открытых квантовых систем / Пер. с англ. под ред. Ю. И. Богданова . — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия . — М. : Советская энциклопедия , 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7 .