Interested Article - Уравнение Линдблада

Уравнение Линдблада (реже: уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, англ. GKSL equation или уравнение англ. FGKSL equation : Franke — Gorini — Kossakowski — Lindblad — Sudarshan, связанное с именем В. А. Франке ) — уравнение для матрицы плотности , является наиболее общим видом марковского производящего уравнения , описывающего неунитарную ( диссипативную , ) эволюцию матрицы плотности $\rho$ . Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением ( супероператором ), сохраняющим след . Предложено в 1976 году Витторио Горини , Анжеем Коссаковским , Джорджем Сударшаном и Йёраном Линдбладом .

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

{\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}[V_{k}\rho ,V_{k}^{\dagger }]+[V_{k},\rho V_{k}^{\dagger }]{\big )},

где $\rho$ — матрица плотности, $H$ — оператор Гамильтона , $V_{k}$ — некие операторы . Если операторы $V_{k}$ равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой . Это уравнение имеет вид:

{\frac {d}{dt}}A=-{\frac {1}{i\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{\big )},

где $A$ — квантовая наблюдаемая. Если операторы $V_{k}$ равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой $A$ переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых , диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является , в которой операторы $V_{k}$ имеют вид: $V_{kl}=\hbar \gamma {\sqrt {{\tilde {\rho }}_{kk}}}|k\rangle \langle l|$ (для удобства записи матричный индекс $\ k$ заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

{\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+\gamma ({\tilde {\rho }}-\rho ),

где ${\tilde {\rho }}$ — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами ${\tilde {\rho }}_{kk}$ , такими, что $\operatorname {Tr} {\tilde {\rho }}=1$ , описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Примечания

Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. // J. Math. Phys. — 1976. — № 17 . — С. 821—825 . (недоступная ссылка)
Lindblad G. // Commun. Math. Phys. — 1976. — № 48 . — С. 119—130 . 4 марта 2016 года.
Ильинский Ю. А., Келдыш Л. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом.. — М. : Издательство МГУ, 1989.

Литература

Isar A., Sandulescu A., Scutaru H., Stefanescu E., Scheid W. // Int. J. Mod. Phys. — 1994. — № 3 . — С. 635—714 .
Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. . — New York: Springer Verlag, 2002. (недоступная ссылка)
Alicki R., Lendi K. . — Berlin: Springer Verlag, 1987.
Attal S., Joye A., Pillet C.-A. . — Springer, 2006.
Ingarden R. S., Kossakowski A., Ohya M. . — New York: Springer Verlag, 1997.
Lindblad G. . — Dordrecht, 1983. — ISBN 1-40-200320-X .
Tarasov V. E. . — Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science, 2008.
Weiss U. . — Singapore: World Scientific, 1993.
Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 192 с. — ISBN 5-93972-207-5 .
/ Пер. с англ. — М. : Мир, 1988. — 223 с.
Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. . — М. : РХД, 2010. — 223 с. от 19 февраля 2010 на Wayback Machine