Для всякого собственного значения ${\displaystyle \lambda }$ по определению верно ${\displaystyle A\left(x\right)=\lambda x}$ . Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

${\displaystyle \left({A\left(x\right),x}\right)=\left({\lambda x,x}\right)=\lambda \left({x,x}\right)}$

и

${\displaystyle \left({x,A\left(x\right)}\right)=\left({x,\lambda x}\right)={\overline {\lambda }}\left({x,x}\right)}$ ,

откуда ${\displaystyle \lambda ={\overline {\lambda }}}$ — число ${\displaystyle \lambda }$ вещественное.

В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как ${\displaystyle \left({x,y}\right)=\xi ^{T}{\overline {\eta }}}$ , где ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ - координатные столбцы векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения

${\displaystyle \left({A\left(x\right),y}\right)=\left({A\xi }\right)^{T}{\overline {\eta }}=\xi ^{T}A^{T}{\overline {\eta }}}$

и

${\displaystyle \left({x,A\left(y\right)}\right)=\xi ^{T}{\overline {A\eta }}=\xi ^{T}{\overline {A}}{\overline {\eta }}}$

Следовательно, ${\displaystyle A^{T}={\overline {A}}}$ , что и есть определение эрмитовой матрицы.

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ . Соответственно для векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из соответствующих им собственных подпространств выполняется ${\displaystyle A\left(x\right)=\lambda x}$ и ${\displaystyle A\left(y\right)=\mu y}$ . Отсюда ${\displaystyle \left({A\left(x\right),y}\right)=\left({\lambda x,y}\right)=\lambda \left({x,y}\right)}$ равно ${\displaystyle \left({x,A\left(y\right)}\right)=\left({x,\mu y}\right)={\overline {\mu }}\left({x,y}\right)}$ . Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести ${\displaystyle \left({x,A\left(y\right)}\right)=\mu \left({x,y}\right)}$ . Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить ${\displaystyle \left({\lambda -\mu }\right)\left({x,y}\right)=0}$ , откуда при различности собственных значений ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$ ясно, что ${\displaystyle \left({x,y}\right)=0}$ , что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство ${\displaystyle E'}$ инвариантно относительно самосопряжённого преобразования ${\displaystyle A}$ , то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно ${\displaystyle A}$ .

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора ${\displaystyle x}$ , принадлежащего подпространству ${\displaystyle E'}$ , лежит в нём. Следовательно, для любого вектора ${\displaystyle y\in \left({E'}\right)^{\bot }}$ выполняется ${\displaystyle \left({A\left(x\right),y}\right)=0}$ . Так как преобразование ${\displaystyle A}$ самосопряжённое, то отсюда следует, что ${\displaystyle \left({x,A\left(y\right)}\right)=0}$ , то есть образ любого вектора ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle \left({E'}\right)^{\bot }}$ принадлежит ${\displaystyle \left({E'}\right)^{\bot }}$ , что и означает, что подпространство ${\displaystyle \left({E'}\right)^{\bot }}$ инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение ${\displaystyle \lambda _{1}}$ . По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е ₁ . Без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle |e_{1}|=1}$ . Если n=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим Е ₁ - линейную оболочку элемента е ₁ , являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Е ^n-1 - ортогональное дополнение к Е ₁ . Тогда по лемме 2 Е ^n-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Е ^n-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Е ^n-1 , поскольку Е ^n-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для ${\displaystyle \forall }$ х,у ${\displaystyle \in }$ Е ⁿ : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для ${\displaystyle \forall }$ х,у ${\displaystyle \in }$ Е ^n-1 .

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}}$ и соответствующий ему собственный вектор ${\displaystyle e_{2}}$ . Без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle |e_{2}|=1}$ . При этом ${\displaystyle \lambda _{2}}$ может случайно совпасть с ${\displaystyle \lambda _{1}}$ , однако, из построения ясно, что ${\displaystyle (e_{1},e_{2})=0}$ . Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку ${\displaystyle {(e_{1},e_{2})}}$ и её ортогональное дополнение Е ^n-2 . Найдём новое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{3}}$ и соответствующий ему собственный вектор ${\displaystyle e_{3}}$ и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Е ⁿ .

Доказательство завершено.