Свободная частица — термин, который используется в физике для обозначения частиц , которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию .

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ .

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость , соответственно, сохраняется также импульс . Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• ${\displaystyle E=T={\frac {mv^{2}}{2}}}$ , где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
• ${\displaystyle E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}$ , где с — скорость света , в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi }$

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }}$ ,

где

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ ,

${\displaystyle A_{\mathbf {k} }}$ любое комплексное число .

Волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом .

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ . В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии , в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах

Гамильтониан свободной частицы

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

пропорционален оператору Лапласа , который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$

Классическая функция Гамильтона имеет вид

${\displaystyle H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}}$

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально

${\displaystyle H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)}$

Релятивистская квантовая частица

Релятивистские описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака . В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется

${\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}}$ ,

где знак "+" соответствует электрону, а знак "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин .

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона .

Примечание

Литература

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова . — М. : Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов . — Изд. 2-е. — М. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0 .