где Re [
w
(
z
)] — действительная часть
функции Фаддеевой
, вычисленная для комплексного аргумента
В предельных случаях при
и
,
упрощается до
и
, соответственно.
История и приложения
В спектроскопии профиль Фойгта описывается свёртки двух механизмов уширения, один из которых даёт распределение Гаусса (обычно в результате
доплеровского уширения
), а другой — распределение Лоренца. Профили Фойгта распространены во многих областях связанных со спектроскопией и
дифракцией
. Из-за сложности вычисления
функции Фаддеевой
профиль Фойгта иногда аппроксимируется с использованием псевдо-распределением Фойгта.
Характеристики
Профиль Фойгта нормирован как и все распределения:
Поскольку нормальные распределения и распределения Коши являются
устойчивыми распределениями
, то каждое из них замкнуто относительно
свёртки
(с точностью до изменения масштаба), и отсюда следует, что распределения Фойгта также замкнуты относительно свёртки.
где
—
гипергеометрическая функция
. Чтобы функция приближалась к нулю, когда
x
приближается к отрицательной бесконечности (как и должно быть для кумулятивной функции распределения), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это даёт для КФР Фойгта:
Нецентрированный профиль Фойгта
Если гауссов профиль центрирован в точке
, а центр лоренцевского профиля —
, то центральная точка свёртки —
, а характеристическая функция равна
Медиана также расположена в точке
.
Профиль производной
Профили первой и второй производных можно выразить через
функцию Фаддеевой
следующим образом
используя приведённое выше определение для
z
.
Функции Фойгта
Функции
Фойгта
U
,
V
и
H
(иногда называемые
функцией уширения линии
) определяются следующим образом:
Связать
функцию уширения линии
с профилем Фойгта можно, используя выражение
где
и
Численные приближения
Функция Теппера-Гарсиа
Функция
Теппера-Гарсиа
, названная в честь немецко-мексиканского астрофизика
, представляет собой комбинацию экспоненциальной функции и
рациональных функций
, которая аппроксимирует функцию уширения линии
в широком диапазоне её параметров
. Она получается из разложения в усечённого
степенного ряда
точной функции уширения линии.
С вычислительной точки зрения наиболее эффективная форма записи
функции Теппера-Гарсиа
принимает вид
где
,
, и
.
Таким образом, функция уширения линии может рассматриваться в первом порядке как чистая функция Гаусса плюс поправочный коэффициент, который линейно зависит от микроскопических свойств поглощающей среды (закодированной в параметре
); однако в результате раннего усечения ряда ошибка такого приближения всё ещё порядка
, то есть
. Это приближение имеет относительную точность
во всём диапазоне длин волн
, при условии, что
. Помимо высокой точности, функцию
легко записать, а также быстро вычислить. Она широко используется в области анализа линий поглощения квазаров
.
Есть несколько возможных вариантов выбора параметра
. Простая формула с точностью до 1 %
даётся
где
является функцией Лоренца (
), Гаусса (
) и полной (
)
ширины на полувысоте
(FWHM). Полная ширина (
) описывается формулой
Ширина профиля Фойгта
Полную ширину на полувысоте
(FWHM) профиля Фойгта можно определить по ширине соответствующих ширин расспределений Гаусса и Лоренца. Ширина гауссова профиля равна
Ширина лоренцевского профиля равна
Грубое приближение для соотношения между ширинами профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца записывается как
Это приближение в точности верно для чисто гауссовского распределения.
Лучшее приближение с точностью 0,02 % даёт выражение
Это приближение в точности верно для чисто гауссового профиля, но имеет ошибку около 0,000305 % для чистого лоренцевского профиля.
Примечания
Tepper-García, Thorsten (2006). "Voigt profile fitting to quasar absorption lines: an analytic approximation to the Voigt-Hjerting function".
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
.
369
(4): 2025—2035.
doi
:
.
List of citations found in the SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS):
от 13 декабря 2020 на
Wayback Machine
"Determination of the Gaussian and Lorentzian content of experimental line shapes".
Review of Scientific Instruments
.
45
(11): 1369—1371. 1974.
Bibcode
:
.
doi
:
.
Sánchez-Bajo, F. (August 1997). "The Use of the Pseudo-Voigt Function in the Variance Method of X-ray Line-Broadening Analysis".
Journal of Applied Crystallography
.
30
(4): 427—430.
doi
:
.
"Simple empirical analytical approximation to the Voigt profile".
JOSA B
.
18
(5): 666—672. 2001.
Bibcode
:
.
doi
:
.
"The Voigt Profile as a Sum of a Gaussian and a Lorentzian Functions, when the Weight Coefficient Depends Only on the Widths Ratio".
Acta Physica Polonica A
.
122
(4): 666—669. 2012.
doi
:
.
ISSN
.
.
Journal of Applied Crystallography
.
33
(6): 1311—1316. 2000.
doi
:
.
P. Thompson, D. E. Cox and J. B. Hastings (1987). "Rietveld refinement of Debye-Scherrer synchrotron X-ray data from Al
2
O
3
".
Journal of Applied Crystallography
.
20
(2): 79—83.
doi
:
.
Olivero, J. J. (February 1977). "Empirical fits to the Voigt line width: A brief review".
Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer
.
17
(2): 233—236.
Bibcode
:
.
doi
:
.
ISSN
.
Литература
, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию
voigt (x, sigma, gamma)
с точностью приблизительно 13-14 цифр.
Оригинальная статья: Voigt, Woldemar, 1912, '' Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums '', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (см. Также: http://publikation.de/003395768)