В теории многих тел термин функция Грина (или функция Грина ) иногда используется как синоним корреляционной функции , но относится к корреляторам операторов поля или операторам рождения и уничтожения .

Название происходит от функций Грина, используемых для решения неоднородных дифференциальных уравнений, с которыми они слабо связаны. В частности, только двухточечные функции Грина в случае невзаимодействующей системы являются функциями Грина в математическом смысле; линейный оператор, который они инвертируют, представляет собой оператор Гамильтона , который в невзаимодействующем случае имеет квадратичный вид по отношению к полевым операторам.

Пространственно однородный случай

Основные определения

Обычно рассматривают теорию многих тел с полевым оператором (оператор уничтожения, записанный в координатном базисе) ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ .

Операторы Гейзенберга можно записать в терминах операторов Шредингера в виде

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Kt},}$

и оператор создания ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$ , где ${\displaystyle K=H-\mu N}$ — гамильтониан большого канонического ансамбля .

Аналогично для операторов записанных в мнимом времени

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }.}$

Здесь оператор создания в мнимом времени ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ не является эрмитово сопряженным оператором уничтожения ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$ .

В реальном времени ${\displaystyle 2n}$ -точечная функция Грина определяется как

${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle {\hat {T}}\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$

где использованы сокращенные обозначения, в которых ${\displaystyle j}$ означает ${\displaystyle (\mathbf {x} _{n},t_{n})}$ а также ${\displaystyle n'}$ означает ${\displaystyle (\mathbf {x} _{n}',t_{n}')}$ . Оператор ${\displaystyle {\hat {T}}}$ обозначает оператор упорядочивания по времени , который указывает, что следующие за ним операторы поля должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево.

Для мнимого времени соответствующее определение:

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle {\hat {T}}\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$

где индекс ${\displaystyle n}$ означает координаты и время ${\displaystyle \mathbf {x} _{n},\tau _{n}}$ . Переменные мнимого времени ${\displaystyle \tau _{n}}$ ограничены диапазоном от ${\displaystyle 0}$ до обратной температуры ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$ .

Здесь знаки функций Грина были выбраны так, чтобы преобразование Фурье двухточечной ( ${\displaystyle n=1}$ ) мацубаровская функции Грина для свободной частицы равна

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$

а запаздывающая функция Грина равна

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$

где

${\displaystyle \omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }\,,}$

где ω _n — .

${\displaystyle \zeta }$ равно ${\displaystyle +1}$ для бозонов и ${\displaystyle -1}$ для фермионов и ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$ обозначает коммутатор или антикоммутатор в зависимости от статистики .

Двухточечные функции

Функция Грина с одной парой аргументов ( ${\displaystyle n=1}$ ) называется двухточечной функцией или пропагатором . При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от разницы её аргументов. Преобразование Фурье по пространству и времени дает

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},}$

где сумма по соответствующим частотам Мацубары (а интеграл включает неявный множитель ${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$ ).

В реальном времени указывают упорядоченную по времени функцию с надстрочным индексом T:

${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (t-t')}.}$

Двухточечную функцию Грина в реальном времени можно записать в терминах «запаздывающих» и «опережающих» функций Грина, которые, как оказывается, обладают более простыми свойствами аналитичности. Запаздывающие и опережающие функции Грина определяются как

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$

${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$

соответственно.

Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением

${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$

где

${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta \omega }-\zeta }}}$

— функция распределения Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака.

Упорядочение в мнимом времени и β периодичность

Мацубаровские функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в пределах диапазона ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \beta }$ . Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Координаты и импульс в этом разделе опущены.)

Во-первых, функция Грина зависит только от разницы мнимых времен:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').}$

Аргумент ${\displaystyle \tau -\tau '}$ меняется в пределах от ${\displaystyle -\beta }$ к ${\displaystyle \beta }$ .

Во-вторых, ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ -

это (анти) периодическая относительно сдвигов ${\displaystyle \beta }$ функция. Из-за небольшого размера области, в которой определяется функция, это означает, что

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),}$

для ${\displaystyle 0<\tau <\beta }$ . Упорядочение по времени имеет решающее значение для этого свойства, что можно напрямую доказать, используя цикличность операции взятия следа.

Эти два свойства учитываются в представлении прямого и обратного преобразования Фурье,

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} \tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{n}\tau }.}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ имеет разрыв при ${\displaystyle \tau =0}$ ; это согласуется с поведением на больших расстояниях ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|}$ .

Спектральное представление

Пропагаторы в реальном и мнимом времени связаны со спектральной плотностью (или спектральным весом) формулой

${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$

где | α ⟩ относится к многочастичному собственному состоянию гамильтониана большого канонического ансамбля H − μN с собственным значением E _α .

Тогда пропагатор в мнимом времени определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,}$

а запаздывающий пропагатор -

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}},}$

где предел подразумевается при ${\displaystyle \eta \rightarrow 0^{+}}$ .

Опережающий пропагатор задается тем же выражением, но с членом ${\displaystyle -\mathrm {i} \eta }$ в знаменателе.

Упорядоченную по времени функцию можно выразить в терминах ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ и ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$ . Как утверждалось выше, ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$ и ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$ обладают простыми свойствами аналитичности: первая (последняя) имеет все полюса и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости.

Мацубаровский пропагатор ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$ имеет все полюса и разрывы на воображаемых ${\displaystyle \omega _{n}}$ осях.

Спектральную плотность можно найти из ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ , используя теорему Сохацкого — Вейерштрасса для обобщённых функций

${\displaystyle \lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$

где P обозначает главное значение интеграла по Коши . Что приводит к

${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$

Кроме этого ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$ подчиняется следующему соотношению между его реальной и мнимой частями:

${\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$

где ${\displaystyle P}$ обозначает главное значение интеграла.

Спектральная плотность подчиняется правилу сумм,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$

которая задает асимптотику в виде

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$

при ${\displaystyle |\omega |\rightarrow \infty }$ .

Преобразование Гильберта

Сходство спектральных представлений функций Грина от мнимого и действительного времени позволяет определить функцию

${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},}$

которая относится к ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ и ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ как

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,\mathrm {i} \omega _{n})}$

а также

${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +\mathrm {i} \eta ).}$

Аналогичное выражение справедливо для ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$ .

Связь между ${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)}$ и ${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,x)}$ называется преобразованием Гильберта .

Доказательство спектрального представления

Для доказательства спектрального представления пропагатора мацубаровской функции Грина, определяют как

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}$

Из-за трансляционной симметрии необходимо учитывать только ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)}$ для ${\displaystyle \tau >0}$ , заданную в виде

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$

Подставление полного набора собственных состояний приводит к

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$

поскольку ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ и ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ являются собственными состояниями ${\displaystyle H-\mu N}$ , то операторы Гейзенберга можно переписать в терминах операторов Шредингера

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$

После преобразования Фурье получается

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$

Сохранение импульса позволяет записать последний член в виде (с точностью до возможных объемных коэффициентов)

${\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}$

что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении.

Правило сумм можно доказать, рассматривая математическое ожидание коммутатора,

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}$

а затем подставляя полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора:

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}$

Замена меток в первом слагаемом дает

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}$

что и есть результат интегрирования ρ .

Случай без взаимодействия

Для невзаимодействующих частиц ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle }$ является собственным состоянием (большого канонического ансамбля) с энергией ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }}$ , где ${\displaystyle \xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu }$ — одночастичное дисперсионное соотношение, измеренное по отношению к химическому потенциалу. Таким образом, спектральная плотность

${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.}$

Из коммутационных соотношений

${\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}$

с возможными объёмными множителями. Сумма, которая включает в себя термическое среднее оператора числа частиц, тогда равняется ${\displaystyle [1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}}$ , приводя к

${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).}$

Таким образом, пропагатор от мнимого времени

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}}$

а запаздывающий пропагатор

${\displaystyle G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.}$

Предел нулевой температуры

При β → ∞ спектральная плотность принимает вид

${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )|\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]}$

где α = 0 соответствует основному состоянию. Здесь только первый (второй) член даёт вклад, когда ω положительно (отрицательно).

Общий случай

Основные определения

Для общего случая используются «полевые операторы», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Используются

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$

где ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ — оператор уничтожения одночастичного состояния ${\displaystyle \alpha }$ , а ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$ — волновая функция этого состояния в координатном представлении. Это дает

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$

с аналогичным выражением для ${\displaystyle G^{(n)}}$ .

Двухточечные функции

Двухточечные функции Грина зависят только от разницы их временных аргументов, так что

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')}}$

и

${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (t-t')}.}$

Можно очевидным образом определять запаздывающие и опережающие функции грина; они связаны с упорядочиванием по времени так же, как указано выше.

Те же свойства периодичности, что описаны выше, применимы к ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$ . Конкретно,

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$

и

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$

для ${\displaystyle \tau <0}$ .

Спектральное представление

В этом случае,

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\right),}$

где ${\displaystyle m}$ а также ${\displaystyle n}$ — многочастичные состояния.

Выражения для функций Грина видоизменяются очевидным образом:

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}}$

и

${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}}.}$

Их свойства аналитичности идентичны. Доказательство проводится точно так же, за исключением того, что эти два матричных элемента больше не являются комплексно сопряженными.

Невзаимодействующий случай

Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются «собственными состояниями одночастичной энергии», то есть

${\displaystyle [H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },}$

тогда для ${\displaystyle |n\rangle }$ — собственное состояние:

${\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}$

так это ${\displaystyle \psi _{\alpha }\mid n\rangle }$ :

${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}$

и аналогично для ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle }$ :

${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}$

Поэтому матричный элемент

${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}$

моэно переписать в виде

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$

следовательно

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$

используя

${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }$

и тот факт, что термическое среднее оператора числа частиц дает функцию распределения Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака.

Наконец, спектральная плотность упрощается до выражения

${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },}$

так что мацубаровская функция Грина

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\beta }}}}$

а запаздывающая функция Грина равна

${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\beta }}}.}$

Невзаимодействующая функция Грина диагональна, но во взаимодействующем случае это не так.

Рекомендации

Книги

• Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С. В. (1962): Метод функции Грина в статистической механике. Издательство North Holland Publishing Co.
• Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. (1963): Методы квантовой теории поля в статистической физике Энглвудские скалы: Прентис-Холл.
• Негеле, Дж. У. и Орланд, Х. (1988): Квантовые системы многих частиц, Аддисон-Уэсли.
• Зубарев Д. Н. , Морозов В., Ропке Г. (1996): Статистическая механика неравновесных процессов: основные понятия, кинетическая теория (том 1). Джон Вили и сыновья. ISBN 3-05-501708-0 .
• Мэттак Ричард Д. (1992), Руководство по диаграммам Фейнмана в проблеме многих тел , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 .

Статьи

• Боголюбов Н. Н. , Тябликов С. В. Запаздывающие и опережающие функции Грина в статистической физике, Докл. 4 , стр. 589 (1959).
• Зубарев Д. Н. , , УМН 3: 3 (1960), 320—345.

Ссылки

• у Евы Паварини, Эрика Коха, Дитера Фоллхардта и Александра Лихтенштейна (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 г. ISBN 978-3-89336-953-9