Пирами́да (от др.-греч. πυραμίς , род. п. πυραμίδος ) — многогранник , одна из граней которого (называемая основанием ) — произвольный многоугольник , а остальные грани (называемые боковыми гранями ) — треугольники , имеющие общую вершину . По числу углов основания различают пирамиды треугольные ( тетраэдр ), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит ${\displaystyle n}$ -угольник , пирамида называется ${\displaystyle n}$ -угольной . Она имеет ${\displaystyle n}$ боковых граней.

Пирамида является частным случаем конуса .

История развития пирамиды в геометрии

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне , однако активное развитие получило в Древней Греции . Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит , а доказал Евдокс Книдский . Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал» , а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12 ).

Элементы пирамиды

• вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
• основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
• боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
• боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
• высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
• апофема — высота боковой грани , проведённая из её вершины;
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

Развёртка пирамиды

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства

Если все боковые рёбра равны , то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом , то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

Сфера

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие) . Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке ( необходимое и достаточное условие ). Эта точка будет центром сферы.

Конус

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}$

где ${\displaystyle \ S}$ — площадь основания и ${\displaystyle \ h}$ — высота;

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}V_{p},}$

где ${\textstyle \ V_{p}}$ — объём параллелепипеда;

• Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле :

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ — скрещивающиеся рёбра , ${\displaystyle d}$ — расстояние между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ , ${\displaystyle \varphi }$ — угол между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ ;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

${\displaystyle S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}}$

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

${\displaystyle \ S_{p}=S_{b}+S_{o}}$

• Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

${\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha }$

где ${\displaystyle a}$ — апофема , ${\displaystyle \ P}$ — периметр основания, ${\displaystyle \ n}$ — число сторон основания, ${\displaystyle \ b}$ — боковое ребро, ${\displaystyle \alpha }$ — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник , а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна ${\displaystyle \pi }$ , а каждый из них соответственно ${\textstyle {\frac {\pi }{n}}}$ , где ${\displaystyle n}$ — количество сторон многоугольника основания ;
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр

Тетраэдром называется многогранник, поверхность которого состоит из четырёх треугольников. Из этого следует, что тетраэдр есть треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и « правильный тетраэдр ». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются правильными треугольниками.

См. также

• Усечённая пирамида
• Бипирамида

Примечания

Литература

• Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4 .
• Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М. : Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9 .
• А. П. Киселёв. " Геометрия по Киселёву ". arXiv : [ ].
• Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3 .

Ссылки

• от 4 января 2010 на Wayback Machine (англ.)
• .