Зако́н Рэле́я — Джинса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и испускательной способности ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ абсолютно чёрного тела , который получили Рэлей и Джинс в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе) .

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату ( ), указывавшему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче.

Вывод формулы

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы : на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей ${\displaystyle kT}$ . Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}}$ .

В нашем случае скорость ${\displaystyle v}$ следует положить равной ${\displaystyle c}$ , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда выписанное выражение вдобавок следует помножить на два:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}$ .

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=kT}$ . Помножив на ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ , получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$ :

${\displaystyle u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {\varepsilon }}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega }$ ,

тогда:

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$ .

Можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$ » к аргументу « длина волны ${\displaystyle \lambda }$ » ( ${\displaystyle \omega =2\pi c/\lambda }$ ):

${\displaystyle u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\lambda }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}}$ .

Также можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$ » к аргументу «частота ${\displaystyle \nu }$ » в герцах ( ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ ):

${\displaystyle u(\nu ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\nu }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot 2\pi ={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}$ .

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ ${\displaystyle u}$ снабжают значком: ${\displaystyle u_{\omega }}$ , ${\displaystyle u_{\nu }}$ или ${\displaystyle u_{\lambda }}$ .

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения ${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)}$ , для ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ находим:

${\displaystyle I(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}}$ .

Выражения для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ называют формулой Рэлея — Джинса .

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ по ${\displaystyle \omega }$ в пределах от 0 до ${\displaystyle \infty }$ для равновесной плотности энергии ${\displaystyle u(T)}$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы , очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях ${\displaystyle u(T)}$ . Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком : в 1900 году ему удалось найти вид функции ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ , соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка .

Примечания