Общая теория относительности
· Математическая формулировка Предсказания
Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманово многообразие
Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта Горизонт событий Гравитационная сингулярность Чёрная дыра · Белая дыра Космологическая сингулярность Гравитомагнетизм
Уравнения Уравнения Эйнштейна · Космологическая постоянная · · Постньютоновский формализм
Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории
Решения Точные решения: · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · · Численная относительность
Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · · Living Reviews in Relativity
Связанные темы Гравитация · Золотой век ОТО
См. также: Портал:Физика

Ме́трика Шва́рцшильда — единственное в силу теоремы Биркхофа сферически симметричное точное решение уравнений Эйнштейна без космологической константы в пустом пространстве. В частности, эта метрика достаточно точно описывает гравитационное поле уединённой невращающейся и незаряженной чёрной дыры и гравитационное поле снаружи от уединённого сферически симметричного массивного тела. Названа в честь Карла Шварцшильда , который первым её обнаружил в 1916 году .

Это решение является статическим, так что сферические гравитационные волны оказываются невозможными.

Вид метрики

Шварцшильдовские координаты

В так называемых Шварцшильдовских координатах ${\displaystyle (t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )}$ , из которых 3 последних аналогичны сферическим , метрический тензор наиболее физически важной части пространства-времени Шварцшильда с топологией ${\displaystyle R^{2}\times S^{2}}$ (произведение области двумерного евклидова пространства и двумерной сферы) имеет вид

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

Интервал в этой метрике записывается как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right),}$

где ${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ — так называемый радиус Шварцшильда , или гравитационный радиус , ${\displaystyle M}$ — масса, создающая гравитационное поле (в частности, масса чёрной дыры), ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная , ${\displaystyle c}$ — скорость света . При этом область изменения координат ${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ с отождествлением точек ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =0)}$ и ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =2\pi )}$ , как в обычных сферических координатах .

Координата ${\displaystyle r}$ не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы ${\displaystyle t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}}$ в данной метрике была равна ${\displaystyle 4\pi r_{0}^{2}}$ . При этом «расстояние» между двумя событиями с разными ${\displaystyle r}$ (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

${\displaystyle \int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_{2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.}$

При ${\displaystyle M\to 0}$ или ${\displaystyle r\to \infty }$ метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что вдали от массивного тела ${\displaystyle M}$ пространство-время оказывается приблизительно псевдоевклидовым сигнатуры ${\displaystyle (1,3)}$ . Так как ${\displaystyle g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1}$ при ${\displaystyle r>r_{s}}$ и ${\displaystyle g_{00}}$ монотонно возрастает с ростом ${\displaystyle r}$ , то собственное время в точках вблизи тела «течёт медленнее», чем вдалеке от него, то есть происходит гравитационное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики

Для центрально-симметричного гравитационного поля в пустоте (а это и есть случай метрики Шварцшильда) можно положить:

${\displaystyle g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }=e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.}$

Тогда не равные нулю независимые символы Кристоффеля имеют вид

${\displaystyle \Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,}$

${\displaystyle \Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^{1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\nu -\lambda },}$

${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r}},\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatorname {ctg} \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},}$

${\displaystyle \Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta \,e^{-\lambda }.}$

Инварианты тензора кривизны равны

${\displaystyle I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{3}.}$

Тензор кривизны относится к типу ${\displaystyle \mathbf {D} }$ по Петрову .

Дефект массы

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) ${\displaystyle a}$ , то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

${\displaystyle m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.}$

В частности, для статического распределения вещества ${\displaystyle T_{0}^{0}=\varepsilon }$ , где ${\displaystyle \varepsilon }$ — плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

${\displaystyle dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,}$

получим, что

${\displaystyle m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.}$

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела . Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при ${\displaystyle r=0}$ и при ${\displaystyle r=r_{s}}$ . Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время ${\displaystyle t}$ для достижения поверхности ${\displaystyle r=r_{s}}$ , однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область ${\displaystyle r\approx 0}$ будут достигнуты за конечное собственное время .

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при ${\displaystyle r\to 0}$ , где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны . Эта особенность ( сингулярность ) не может быть устранена сменой системы координат.

Горизонт событий

Поверхность ${\displaystyle r=r_{s}}$ называется горизонтом событий . При более удачном выборе координат, например в координатах Леметра или Крускала, можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра — полной массы тела.

Координаты Крускала

Можно попытаться ввести координаты, не дающие сингулярности при ${\displaystyle r=r_{s}}$ . Таких координатных систем известно множество, и самой часто встречающейся из них является система координат Крускала, которая покрывает одной картой всё максимально продолженное многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна (без космологической постоянной). Это большее пространство-время ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ называется обычно (максимально продолженным) пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала ( Диаграмма Крускала — Секереша ). Метрика в координатах Крускала имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)}$

где ${\displaystyle F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}}$ , а функция ${\displaystyle r(u,v)}$ определяется (неявно) уравнением ${\displaystyle (1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv}$ .

Пространство ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ максимально , то есть его уже нельзя изометрически вложить в большее пространство-время, а область ${\displaystyle r>r_{s}}$ в координатах Шварцшильда ( ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ) является всего лишь частью ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ (это область ${\displaystyle v>0,\ r>r_{s}}$ — область I на рисунке). Тело, движущееся медленнее света — мировая линия такого тела будет кривой с углом наклона к вертикали меньше ${\displaystyle 45^{\circ }}$ , см. кривую ${\displaystyle \gamma }$ на рисунке — может покинуть ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ . При этом оно попадает в область II, где ${\displaystyle r<r_{s}}$ . Покинуть эту область и вернуться к ${\displaystyle r>r_{s}}$ оно, как видно из рисунка, уже не сможет (для этого пришлось бы отклониться более, чем на ${\displaystyle 45^{\circ }}$ от вертикали, то есть превысить скорость света). Область II таким образом представляет собой чёрную дыру. Её граница (ломаная, ${\displaystyle v\geqslant 0,\ r=r_{s}}$ ) соответственно является горизонтом событий.

В ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ есть ещё одна асимптотически плоская область III, в которой также можно ввести Шварцшильдовы координаты. Однако эта область причинно не связана с областью I, что не позволяет получить о ней никакой информации, оставаясь снаружи от горизонта событий. В случае реального коллапса астрономического объекта области IV и III просто не возникают, так как левую часть представленной диаграммы необходимо заменить на непустое пространство-время, заполненное коллапсирующей материей.

Отметим несколько замечательных свойств максимально продолженного Шварцшильдовского пространства ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ :

1. Оно сингулярно: координата ${\displaystyle r}$ наблюдателя, падающего под горизонт, уменьшается и стремится к нулю, когда его собственное время ${\displaystyle \tau }$ стремится к некоторому конечному значению ${\displaystyle \tau _{0}}$ . Однако его мировую линию нельзя продолжить в область ${\displaystyle \tau \geqslant \tau _{0}}$ , так как точек с ${\displaystyle r=0}$ в этом пространстве нет. Таким образом, судьба наблюдателя нам известна только до некоторого момента его (собственного) времени.
2. Хотя пространство ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ статично (видно, что метрика (1) не зависит от времени), пространство ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ таковым не является. Это формулируется более строго так: вектор Киллинга , являющийся времениподобным в ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ , в областях II и IV расширенного пространства ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ становится пространственноподобным.
3. Область III тоже изометрична ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ . Таким образом, максимально продолженное пространство Шварцшильда содержит две «вселенные» — «нашу» (это ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ) и ещё одну такую же. Область II внутри чёрной дыры, соединяющая их, называется мостом Эйнштейна — Розена . Попасть во вторую вселенную наблюдатель, стартовавший из I и движущийся медленнее света, не сможет (см. рис. 1), однако в промежуток времени между пересечением горизонта и попаданием на сингулярность он сможет увидеть её. Такая структура пространства-времени, которая сохраняется и даже усложняется при рассмотрении более сложных чёрных дыр, породила многочисленные рассуждения на тему возможных «других» вселенных и путешествий в них через чёрные дыры как в научной литературе, так и в научно-фантастической (см. Кротовые норы ).

Орбитальное движение

История получения и интерпретации

Метрика Шварцшильда, выступая как объект значительного теоретического интереса, для специалистов-теоретиков является также неким инструментом, с виду простым, но тем не менее сразу же приводящим к трудным вопросам.

В середине 1915 года Эйнштейн опубликовал предварительные уравнения теории гравитации ${\displaystyle R_{ij}=T_{ij}}$ . Это были ещё не уравнения Эйнштейна, но они уже совпадали с окончательными в вакуумном случае ${\displaystyle T_{ij}=0}$ . Сферически-симметричные уравнения для вакуума Шварцшильд проинтегрировал в период с 18 ноября 1915 г. до конца года. 9 января 1916 г. Эйнштейн, к которому Шварцшильд обратился по поводу публикации своей статьи в «Berliner Berichte», написал ему, что «прочитал его работу с огромной страстью» и «был ошеломлён, что истинное решение этой проблемы можно выразить столь легко» — Эйнштейн исходно сомневался, возможно ли вообще получить решение таких сложных уравнений.

Шварцшильд закончил свою работу в марте, получив также сферически-симметричное статическое внутреннее решение для жидкости с постоянной плотностью. В это время на него навалилась болезнь ( пузырчатка ), которая в мае свела его в могилу. С мая 1916 г. И. Дросте, ученик Г. А. Лоренца, проводя исследования в рамках окончательных эйнштейновских уравнений поля, получил решение той же задачи более простым методом, чем Шварцшильд. Ему же принадлежит первая попытка анализа расходимости решения при стремлении к сфере Шварцшильда.

Вслед за Дросте большинство исследователей стали удовлетворяться различными соображениями, направленными на доказательство непроницаемости сферы Шварцшильда. При этом соображения теоретического характера подкреплялись физическим аргументом, согласно которому «такое в природе не существует», поскольку отсутствуют тела, атомы, звёзды, радиус которых был бы меньше шварцшильдовского радиуса.

Для К. Ланцоша, а также для Д. Гилберта сфера Шварцшильда стала поводом задуматься над понятием «сингулярность», для П. Пенлеве и французской школы она являлась объектом полемики, в которую включился Эйнштейн.

В ходе парижского коллоквиума 1922 г., организованного в связи с приездом Эйнштейна, речь зашла не только об идее, согласно которой радиус Шварцшильда не будет сингулярным, но также и о гипотезе, предвосхищающей то, что сегодня называют гравитационным коллапсом .

Искусная разработка Шварцшильда имела лишь относительный успех. Ни его метод, ни его интерпретация не были взяты на вооружение. Из его работы не сохранили почти ничего, кроме «голого» результата метрики, с которой связали имя её создателя. Но вопросы интерпретации и прежде всего вопрос «сингулярности Шварцшильда» тем не менее решены не были. Стала выкристаллизовываться точка зрения, что эта сингулярность не имеет значения. К этой точке зрения вели два пути: с одной стороны, теоретический, согласно которому «сингулярность Шварцшильда» непроницаема, и с другой стороны, эмпирический, состоящий в том, что «этого в природе не существует». Эта точка зрения распространилась и стала доминирующей во всей специальной литературе того времени.

Следующий этап связан с интенсивным исследованием вопросов гравитации в начале «золотого века» теории относительности.

Литература

• K. Schwarzschild // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. — 1916. — 189—196.
  Рус. пер.: Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 199—207.
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М. : Наука , 1988. — 512 с. — (« Теоретическая физика », том II). — ISBN 5-02-014420-7 .
• Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. — 1916. — D.25. — Biz.163—180.
• Эйнштейн А. Памяти Карла Шварцшильда // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1967. Т. 4. С. 33—34.
• . (англ.) . — 2015. — arXiv : .

См. также

• Пространство Минковского
• Чёрная дыра
• Координаты Леметра

Ссылки