Interested Article - Магнитная гидродинамика

Магнитная гидродинамика — физическая дисциплина, возникшая на пересечении гидродинамики и электродинамики сплошной среды . Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости или газа в магнитном поле . Примерами изучаемых сред являются различного рода плазма , жидкие металлы , солёная вода.

Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан Ханнес Альфвен , удостоившийся за свои работы Нобелевской премии в 1970 году . Первой экспериментальной работой в этой области стало исследование Гартманом в 1937 году сопротивления течения ртути в трубке при воздействии поперечного магнитного поля.

Уравнения магнитной гидродинамики

Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Здесь:

$p$ — давление в среде;
$\rho$ — плотность среды;
$\sigma$ — проводимость среды;
$\eta$ — вязкость среды;
$\zeta$ — объёмная вязкость среды;
${\vec {v}}$ — поле скоростей;
${\vec {H}}$ — напряжённость магнитного поля .

Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных ( $p$ , $\rho$ , ${\vec {H}}$ , ${\vec {v}}$ ) при заданных начальных и граничных условиях.

Если воспользоваться следующими приближениями ( бездиссипативный предел):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

то система уравнений МГД запишется в более простом виде:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Вывод уравнений

Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики

Запишем систему уравнений Максвелла в системе СГС :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}

Будем исходить из следующих предположений:

магнитная проницаемость равна единице: $\mu =1;$
нет электрических зарядов: $\rho =0;$
закон Ома имеет вид: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Ограничимся нерелятивистским случаем ( $v\ll c$ ), то есть $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|.$

Обоснование нерелятивистского приближения.

Покажем, что $v\ll c$ эквивалентно $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}\nabla \times {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\right|

Оценим это выражение:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

где:

$L$ — характерная длина;
$\tau$ — характерное время.

Это приводит нас к следующем соотношению:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

То есть характерная скорость в системе должна быть на много меньше скорости света.

Уравнения Максвелла в этом приближении запишутся следующим образом:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Выразив из закона Ома ${\vec {E}}$ и подставив его в первое уравнение, получим:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Подставив в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла, получим:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].

В пределе идеальной проводящей жидкости $\sigma \to \infty$ получаем:

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].$

Для связи с гидродинамикой в уравнение Навье — Стокса добавляется член, отвечающий за силу Ампера , действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряжённость магнитного поля):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Приложения

Принципы магнитной гидродинамики используются для дистанционного контроля и управления поведением жидких металлов в промышленности, в частности:

в МГД-насосах ;
в МГД-генераторах .

См. также

Литература

Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное. — М. : Физматлит , 2003 . — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 2: Магнитная гидродинамика. — 3-е изд. — СПб. : , 2021. — 446 с. — ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Ссылки

в энциклопедии «Кругосвет».
.

Разделы электродинамики
Электростатика и Электродинамика Магнитостатика и Релятивистская электродинамика Квантовая электродинамика
Электродинамика сплошных сред	Магнитогидродинамика Электрогидродинамика

Уравнения магнитной гидродинамики

Вывод уравнений

Приложения

См. также

Литература

Ссылки

Магнитная лента

Формула Торричелли (гидродинамика)

Геофизическая гидродинамика

Same as Магнитная гидродинамика

Фильтрация (гидродинамика)

Вихрь (гидродинамика)

Магнитная лента

Транскраниальная магнитная стимуляция

Магнитная восприимчивость

Магнитная (станица)

Магнитная головка

Магнитная линза

Курская магнитная аномалия

Магнитная звукозапись

Магнитная аномалия

Магнитная индукция

Магнитная лента

Магнитная цепь

Магнитная проницаемость

Магнитная постоянная

Магнитная (гора)

Магнитная (гора)

Магнитная девиация

Магнитная мина

Магнитная сепарация

Бразильская магнитная аномалия

Магнитная левитация

Магнитная анизотропия

Магнитная ловушка

Магнитная Аномалия (группа)

Магнитная лента

Магнитная инверсия Брюнес—Матуяма

Магнитная инверсия Гаусс—Матуяма

Магнитная индукция

Вычислительная гидродинамика

Формула Торричелли (гидродинамика)

Геофизическая гидродинамика

Магнитная аномалия

Магнитная обсерватория

Магнитная аномалия (значения)

Микрогидродинамика

Электрогидродинамика

Микрогидродинамика