Interested Article - Томография

cathleen
  • 2021-03-01
  • 2

Томограммы (S 1 , S 2 ) группы трёхмерных объектов и их проекция (P)

Томогра́фия ( др.-греч. τομή — сечение и γράφω — пишу) — получение послойного изображения внутренней структуры объекта.

Виды томографии

Анатомическая томография

Анатомическая, или разрушающая томография (биотомия) основана на физическом выполнении срезов исследуемого организма с их последующей фиксацией с помощью химических веществ. Классическими примерами анатомической томографии являются пироговские срезы и изображения гистологических препаратов . Для сохранения формы организма при выполнении срезов организм фиксируется, например, путём замораживания .

Реконструктивная томография

Реконструктивная, или неразрушающая томография — получение тем или иным способом информации о распределении интересующего параметра в объекте большей размерности по его проекциям меньшей размерности без разрушения объекта; антоним анатомической томографии. В объём понятия входят аналоговая реконструктивная томография и вычислительная (компьютерная) томография .

Аналоговая реконструктивная томография — реконструктивная томография, использующая для восстановления распределения параметра объекта не цифровые, а аналоговые вычислительные устройства (например, оптические).

Метод был предложен для рентгенологического исследования французским врачом Бокажем и реализован в виде аппарата (названного «томографом») итальянским инженером Валлебоной (и, примерно в то же время, инженерами из других стран) в 1920-х — начале 1930-х годах, и был основан на перемещении двух из трёх компонентов рентгенографии ( рентгеновская трубка , рентгеновская плёнка , объект исследования ). Томограф позволял получить один снимок — изображение слоя, лежащего на выбранной глубине исследуемого объекта. Наибольшее распространение получил метод съёмки, при котором исследуемый объект оставался неподвижным, а рентгеновская трубка и кассета с плёнкой согласованно перемещались в противоположных направлениях. При синхронном движении трубки и кассеты четким на плёнке получается только необходимый слой, потому что только его вклад в общую тень остаётся неподвижным относительно плёнки, всё остальное смазывается, почти не мешая проводить анализ полученного изображения. Метод получил название классическая, или линейная томография . В настоящее время доля последнего метода в исследованиях в мире уменьшается в связи со своей относительно малой информативностью и высокой лучевой нагрузкой.

В медицине при диагностике заболеваний зубочелюстной системы широко используется панорамная томография . За счёт движения излучателя и кассеты с рентгеновской плёнкой по специальным траекториям выделяется изображение в форме цилиндрической поверхности. Это позволяет получить снимок с изображением всех зубов пациента.

Вычислительная томография — область математики , занимающаяся разработкой математических методов и алгоритмов реконструкции внутренней структуры объекта по проекционным данным — цифровым снимкам объекта, сделанным посредством многократного просвечивания этого объекта в различных пересекающихся направлениях. Внутренняя структура, как правило, представляется в воксельной форме . Получение массива вокселей по массиву проекционных снимков называется прямой томографической задачей . К области вычислительной томографии также относится и решение обратной томографической задачи — формирование произвольного проекционного вида на основании известной внутренней структуры.

Вычислительная томография является теоретической основой компьютерной томографии — метода получения послойных изображений объекта в трёх плоскостях с возможностью их трёхмерной реконструкции. Чаще всего под компьютерной томографией подразумевается рентгеновская компьютерная томография (КТ).

В отличие от рентгеновской КТ, магнитно-резонансная томография (МРТ) использует электромагнитные волны низких энергий и при частом использовании не представляет опасности для пациента. МРТ и КТ имеют различия и применяются в разных случаях, они не взаимозаменяемы .

История томографии

  • До XX в. математики Фредгольм и Абель исследуют свойства семейства интегральных уравнений, позже ставших основой томографии.
  • В 1895 г. В. К. Рентген открывает проникающие «Х-лучи», позже названные его именем — «рентгеновские».
  • В 1905 г. Я. Ван-Циттерт осуществил томографическое измерение распределение яркости далёкой звезды по радиусу как численное обратное преобразование Абеля.
  • В 1917 году австрийский математик Иоганн Радон предложил способ обращения интегрального преобразования , впоследствии получившего его имя, благодаря которому стало возможно восстанавливать изначальную функцию, зная её преобразование. Однако в то время работа Радона не попала в поле зрения исследователей и вскоре была незаслуженно забыта современниками.
  • В 20-х гг. XX в. французский врач Бокаж изобрёл и запатентовал томографический механический сканер, который должен был оставлять на рентгенограмме неразмытым только заданный слой тела пациента. Это называлось «рентгеновская планиграфия», а также «биотомия», а позже было названо «классическая томография».
  • В 1930 г. итальянский инженер А. Валлебона реализовал идею сканера, предложенную Бокажем, на практике.
  • В 1934 г. В. И. Феоктистов создал первый в СССР действующий рентгеновский томограф.
  • В 1937 г. польский математик Качмаж опубликовал алгоритм, который впоследствии был использован Кормаком и Хаунсфилдом без ссылки на автора.
  • В 1937 г. И. Раби открыл новое явление — ядерный магнитный резонанс (ЯМР) в изолированном ядре.
  • В 1938 г. А. Ощепков изобрёл СВЧ-интроскопию.
  • В 1941 г. А. Н. Тихонов изобрёл метод регуляризации, сделавший возможным реконструкцию при неточных проекциях.
  • 1941—1945 гг. Рентгеновские, гамма- и нейтронные интроскопы с вычислительной томографической обработкой по Тихонову осуществлены в СССР для задач дефектоскопии в авиационной и пушечной отраслях промышленности, а к концу войны — и для контроля объёмного распределения процессов в ядерных реакторах.
  • В 1944 г. Е. К. Завойский открыл новое явление — электронный парамагнитный резонанс (ЭПР).
  • В 1946 г. Ф. Блох и Э. Парселл повторили открытие И. Раби в конденсированных средах.
  • В 1953 г. И. А. Бочек изобрёл стохастическую версию алгоритма Качмажа, избавившую реконструкции от регулярных артефактов и значительно увеличивший качество изображений.
  • В 1953 г. советский математик Вайнштейн доказал теорему о связи минимального достаточного количества проекций с группой симметрии объекта, резко упростившую томографию.
  • В 1960 г. В. А. Иванов изобрёл ЯМР-томографию («внутривидение» на основе ядерного магнитного резонанса).
  • В 1963 году американский физик А. Кормак повторно (но отличным от Радона способом) решил задачу томографического восстановления, а в 1969 году английский инженер-физик Г. Хаунсфилд из фирмы EMI Ltd. сконструировал «EMI-scanner» — первый компьютерный рентгеновский томограф, чьи клинические испытания прошли в 1972 году . В 1979 году Кормак и Хаунсфилд «за разработку компьютерной томографии» были удостоены Нобелевской премии по физиологии и медицине .
  • В 1991 г. в одном из крупнейших медицинских учреждений СССР ( Всесоюзный научный центр психического здоровья АМН СССР ) был установлен 1-й отечественный МР-томограф «Образ-1», произведённый научно-производственной фирмой «Аз», который до сих пор [ когда? ] эксплуатируется.
  • В 2003 за изобретение метода магнитно-резонансной томографии Нобелевскую премию по физиологии и медицине получили Питер Мэнсфилд и Пол Лотербур .
  • В 2010 году создана так называемая четырёхмерная электронная томография — техника визуализирования динамики трёхмерных объектов во времени. Эта техника позволяет наблюдать за пространственно-временными характеристиками микрообъектов .

Классификация видов томографии

Взаиморасположение источника зондирующего излучения, объекта и детектора

С точки зрения взаиморасположения источника зондирующего излучения, объекта и детектора томографические методы могут быть разделены на следующие группы:

  • трансмиссионные — регистрируется зондирующее внешнее излучение, прошедшее через пассивный (неизлучающий) объект, частично ослабляясь при этом (тень от объекта);
  • эмиссионные — регистрируется излучение, выходящее из активного (излучающего) объекта с некоторым пространственным распределением источников излучения;
  • комбинированные трансмиссионно-эмиссионные (люминесцентные, акустооптические и оптоакустические и др.) — регистрируется вторичное излучение от источников, распределённых по объёму объекта и возбуждённых внешним излучением;
  • эхозондирование — регистрируется зондирующее внешнее излучение, отражённое от внутренних структур пассивного объекта.

Размеры исследуемых объектов

Сфера применения

По сфере применения выделяют:

Зондирующее излучение

Томографические алгоритмы

Известны несколько тысяч алгоритмов, применяемых для задач вычислительной (реконструктивной) томографии. Их можно объединить в несколько больших основных групп.

Со времён Абеля, Радона, Вайнштейна применялись алгоритмы аналитического обратного преобразования. Математической особенностью этих задач является то, что они принадлежат к классу некорректно по Адамару поставленных задач, как правило, родственных интегральным уравнениям Фредгольма. Эффективным средством их решения при конечном числе проекций является метод регуляризации академика А. Н. Тихонова , развитый впоследствии Филлипсом, Арсениным, Ягломом, Тананой и многими др.

Для осесимметричных систем применяют непосредственно обратное преобразование Абеля. Его дискретная версия впервые была применена Ван-Циттертом для задачи разрешения сверх предела Рэлея.

Для двухмерных систем, описываемых двумя разделяющимися переменными, применяют элементарное преобразование Агравала и Содха. Для систем с известной группой симметрии теорема Вайнштейна указывает наименьшее число проекций, достаточных для точной реконструкции системы.

С 1940-х годов (Тихонов и др.) томографические задачи для 2- и 3-мерных объектов поддаются решению численными методами. Численная дискретная модель системы интегральных уравнений сводится, в конечном итоге, как правило, к особенной (недоопределённой либо, напротив, переопределённой и несовместной) системе линейных уравнений большого размера, причём с размерностью от 3- и 4- (для двумерной томографии) до 5- и 6-мерной (для трёхмерной томографии). В экспериментальной ядерной физике и физике пучков заряженных частиц известна четырёхмерная томография (Sandia National Laboratories, Brookhaven National Laboratory, CERN , Исследовательский центр им. М. В. Келдыша, МФТИ и др.).

Таким образом, решение таких систем классическими «точными» методами (Гаусса-Жордана и т. п.) нереально вследствие кубически (по числу элементов объекта =N M , где N — характерный линейный размер объекта, M — размерность) больших вычислительных затрат (что доказано ). Например, для двухмерных задач порядка 100×100 потребуется порядка 1 трлн операций с накоплением погрешностей округления, а для 3-мерных 100×100×100 — порядка 10 18 операций, что соответствует времени порядка 1 часа счёта на суперкомпьютерах производительностью десятки петафлоп.

Таким образом, класс 1 вычислительно неудовлетворителен. Для их решения применяют три иных класса алгоритмов:

  • класс 2 — безытерационное обратное преобразование разложения проекций по ортогональным функциям (Фурье, Чебышёва, Котельникова, Хартли, Уолша, Радемахера и др.);
  • класс 3 — регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оценённого предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными методами многомерного поиска — спуска, Монте-Карло и др.;
  • класс 4 — Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оценённого предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными проекционными алгоритмами. Все проекционные алгоритмы базируются на теореме математика Банаха (г. Львов) о сжимающих отображениях. Важным их достоинством является гарантированная и устойчивая сходимость итераций. Ещё более важным их достоинством для многомерной томографии является радикально более низкая вычислительная трудоёмкость — квадратичная по N**M. Для вышеуказанных параметров объекта в двухмерном случае это пропорционально 100 млн операций и числу итераций, то есть порядка 1 часа счёта на рядовой современной ПЭВМ (для итераций первого порядка) и порядка 1 сек. для итераций второго порядка. В трёхмерном случае (100×100×100) это пропорционально 1 трлн операций и числу итераций, то есть порядка 1 сек. (если первого порядка) или порядка 1 миллисекунды (если второго порядка) на супер-ЭВМ.

Первые технические и биологические вычислительные интроскопы-томографы в СССР (1940—1950-е годы) и первые медицинские вычислительные томографы в США (1970-е годы) фактически использовали ряд версий метода польского математика Качмажа (1937), в том числе советского математика И. А. Бочека (1953, МФТИ). Так, награждённые Нобелевской премией Кормак и Хаунсфилд использованный ими алгоритм Качмажа (обеспечивающий достижение точки наименьших квадратов) называли ART (1973); алгоритм советского математика Тараско (обеспечивающий достижение точки максимума правдоподобия, 1960-е годы, ФЭИ, Обнинск) они назвали MART; также они использовали алгоритм японского математика Куино Танабе (1972), являющийся релаксационной и сверхрелаксационной версией алгоритма Качмажа. Часто используется алгоритм Фридена (обеспечивающий достижение точки максимума энтропии). Стохастические методы перебора уравнений в проекциях (первым из таких была стохастическая версия алгоритма И. А. Бочека, опубликованная в 1971 году) позволяют избежать регулярных артефактов и значительно улучшить качество изображения.

Если для схем сканирования «тонкими лучами» система уравнений сравнительно хорошо обусловлена (следовательно, результат реконструкции мало чувствителен к неизбежным погрешностям измерений проекций), то для сканирования «толстыми лучами» (что характерно для задач ЯМР-томографии, УЗИ, ПЭТ, СВЧ-интроскопии Ощепкова, электротоковой томографии, система уравнений оказывается очень плохо обусловленной. Это приводит к резкому замедлению приближения итераций вышеупомянутых проекционных методов к решению. Для решения таких систем используют методы А. В. Горшкова (МФТИ) и (ЮУрГУ), отличающиеся нечувствительностью к плохой обусловленности решаемых систем уравнений, а также, за счёт необходимого стохастического перебора уравнений в них, отсутствием регулярных артефактов, и, наконец, скоростью сходимости (в практических задачах) на 2—3 порядка большей, чем указанные ранее.

Для нелинейных уравнений и томографии объектов большой размерности (трёхмерной в медицине, науке и технике, 4-, 5-, 6-мерной в ядерной физике и физике плазмы и пучков заряженных частиц, в ускорительной технике) эффективным методом решения являются варианты метода Монте-Карло в метрических пространствах большой размерности.

Алгоритм советского и российского математика А. А. Абрамова одновременных сжимающих итерации к решению и итерации к ортогонализации обеспечивает гарантию устойчивой сходимости к решению и заодно весьма точную оценку погрешности и скорости реконструкции. Укажем, что в плохо обусловленных системах в качестве его элементарных итераций рекомендуются не итерации первого порядка (Качмажа-Бочека, Тараско, Фридена и т. п.), а второго порядка (Горшкова, Елсакова и др.), или даже (в случае необходимости, пока не встреченной в практических задачах) итерации 3-го или большего порядков.

Заметим, что не следует без необходимости использовать итерации слишком высоких порядков, так как вычислительные затраты на них при неограниченном увеличении порядка итерации стремятся к кубическим (по N**M) (как у прямого обращения Гаусса-Жордана).

Для решения вычислительных задач синфазных УЗ-, СВЧ-, СБММ- и электропотенциальной томографии используют алгоритм академика Лаврентьева.

Примечания

  1. Давыдов, Д. : [ 13 апреля 2022 ] / Д. Давыдов, А. Крючков // Тинькофф Журнал. — 2022. — 12 апреля.
  2. Юрий Ерин. . Элементы (2 августа 2010). Дата обращения: 3 августа 2010. 24 августа 2011 года.
  3. Kwon, O.-H. 4D Electron Tomography : [ англ. ] / O.-H. Kwon, A. H. Zewail // Science . — 2010. — Vol. 328, no. 5986. — P. 1668–1673. — doi : .
  4. Томография. // Малая медицинская энциклопедия.. — М. : Медицинская энциклопедия, 1991–96.
  5. Томография. // Первая медицинская помощь.. — М. : Большая Российская Энциклопедия, 1994.
  6. Медицинская томография. // Энциклопедический словарь медицинских терминов.. — М. : Советская энциклопедия, 1982–1984.

Литература

  • A. C. Kak, M. Slaney (IEEE Press, NY 1988)
  • Хорнак Дж. П.
  • Cormack A. M. // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971—1980. — World Scientific Publishing Co., 1992. — P. 551—563.
  • Hounsfield G. N. // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971—1980. — World Scientific Publishing Co., 1992. — P. 568—586.
  • Lauterbur P. C. // Les Prix Nobel. The Nobel Prizes 2003. — Nobel Foundation, 2004. — P. 245—251.
  • Mansfield P. // Les Prix Nobel. The Nobel Prizes 2003. — Nobel Foundation, 2004. — P. 266—283.
  • Мэнсфилд П. // Успехи физических наук, 2005, т. 175, № 10, с. 1044—1052.
  • Дьячкова С. Я., Николаевский В. А. (недоступная ссылка) . — Воронеж, 2006.
  • Важенин А. В., Ваганов Н. В. Медицинско-физическое обеспечение лучевой терапии. — Челябинск, 2007.
  • Левин Г. Г., Вишняков Г. Н. Оптическая томография. — М.: Радио и связь, 1989. — 224 с.
  • Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 160 с.
  • Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 232 с.
  • Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. — М.: Мир, 1990. — 288 с.
  • Васильев М. Н., Горшков А. В. Аппаратно-программный комплекс GEMMA и томографический метод измерения многомерных функций распределения в траекторном и фазовом пространствах при диагностике пучков заряженных частиц. // Приборы и техника эксперимента. — 1994. — № 5. — С. 79—94. // Перевод на англ.: Instruments and Experimental Techniques. — V. 37. № 5. Part 1. 1994. — P. 581—591.
  • Горшков А. В. Пакет программ REIMAGE для существенного улучшения разрешения изображений при обработке данных физического эксперимента и метод нахождения неизвестной аппаратной функции // Приборы и техника эксперимента. — 1995. № 2. — С. 68—78. // = (англ.) Instruments and Experimental Techniques. — V. 38. № 2. 1995. — P. 185—191.
  • Москалёв И. Н., Стефановский А. М. Диагностика плазмы с помощью открытых цилиндрических резонаторов. — М.: Энергоатомиздат, 1985.
  • Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям : Основы реконструктивной томографии. — М.: Мир, 1983. — 352 с.
  • Вайнберг Э. И., Клюев В. В., Курозаев В. П., Промышленная рентгеновская вычислительная томография. В кн.: Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий. Справочник. Под ред. В. В. Клюева. 2-е изд. Т. 1. — M., 1986.

Ссылки

Источник —

cathleen
  • 2021-03-01
  • 2
  • Tags:

Same as Томография

The title for the last searches