Первым профессиональным клубом в карьере Энрико стала «
Сампдория
». Но долгое время он не мог стать в ней ключевым игроком, каждый новый сезон начиная в аренде в другом клубе. И лишь в 1995 году Кьеза смог закрепиться в составе «Сампдории». Забив за сезон более 20 мячей, форвард перебрался в «
Парму
», где стал рекордсменом клуба по забитым голам в еврокубках. Отыграв несколько сезонов форвард отправляется во Флоренцию в «
Фиорентину
», где быстро становится любимцем болельщиков. В 2001 году, когда в «Фиорентине» начался кризис, Энрико стал одним из немногих, кто остался верен команде. Но через год клуб обанкротился и Кьеза стал свободным агентом. Поиграв немного в «
Лацио
», Энрико переходит в «Сиену», где вскоре становится капитаном команды.
Семья
Сын
Федерико
— также профессиональный футболист, чемпион Европы, в настоящее время выступает за
Ювентус
, сыграл за сборную Италии больше матчей, чем отец
.