Interested Article - Вероятность перехода

Вероятностью перехода называется вероятность квантовой системы перейти из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние под воздействием какого-либо возмущения.

В теории возмущений вероятность перехода даётся формулой:

w_{fi}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{-\infty }^{+\infty }V_{fi}(t)e^{i\omega _{fi}t}dt\right|^{2}

где $i$ и $f$ - начальное $|i\rangle$ и конечное $|f\rangle$ состояния системы,

$V_{fi}(t)\$ - матричный элемент оператора возмущения $\langle f|{\hat {V}}(t)|i\rangle \$ ,

$\omega _{fi}\$ - разность энергий двух стационарных состояний $(E_{f}-E_{i})/\hbar \$ .

Вышеуказанная формула справедлива в первом порядке теории возмущений, т.е. когда $V_{fi}\ll \hbar \omega _{fi}\$ . Предполагается что возмущение ${\hat {V}}\$ затухает при $t\to \pm \infty \$ . Для определения вероятности перехода на конечный момент времени $t\$ надо положить верхний предел интеграла равным $t\$ , что эквивалентно выключению взаимодействия в этот момент времени.

Важным случаем является переход под воздействием периодического возмущения частоты $\omega \$ : $V_{fi}(t)={\tilde {V}}_{fi}e^{-i\omega t}\$ . Считая включение потенциала экспоненциальным $V_{fi}(t)={\tilde {V}}_{fi}e^{-i\omega t+\lambda t}\$ , находим:

w_{fi}(t)={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{-\infty }^{t}{\tilde {V}}_{fi}e^{i(\omega _{fi}-\omega )t+\lambda t}dt\right|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|{\tilde {V}}_{fi}\right|^{2}{\frac {e^{2\lambda t}}{(\omega _{fi}-\omega )^{2}+\lambda ^{2}}}

Откуда в адиабатическом пределе $\lambda \to 0\$ для вероятности перехода в единицу времени получаем:

{\frac {d}{dt}}w_{fi}(t)={\frac {2\pi }{\hbar ^{2}}}\left|{\tilde {V}}_{fi}\right|^{2}\delta (\omega _{fi}-\omega )

Данный результат тесно связан с золотым правилом Ферми , которое получается суммированием по конечным состояниям $f\$ , (полагая также $\omega =0\$ ).