Задача трёх тел в астрономии — одна из задач небесной механики , состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца , Земли и Луны ). В отличие от задачи двух тел , в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — гравитационная постоянная , ${\displaystyle m_{i}}$ — массы тел, ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}_{i}}$ — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения

На данный момент известно более тысячи частных решений:

• Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они существуют, когда все три тела находятся на одной прямой . В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным .
• Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж . В них треугольник , образованный телами, остаётся равносторонним и вращается в пространстве.
• В 1892—1899 годах Анри Пуанкаре доказал, что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.
• В 1911 году У. Д. Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования. Лишь в 1961 году советский математик К. А. Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова ).
• В середине 1970-х годов _en ( англ. Roger A. Broucke ), _fr ( фр. Michel Hénon ) и Дж. Хаджидеметриу ( англ. John D. Hadjidemetriou ) независимо обнаружили семейство траекторий Бруке-Хено-Хаджидеметриу .
• В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок», нашёл Мур .

• В 2013 году сербские учёные и из нашли 11 новых периодических частных решений для задачи трёх тел, одинаковых по массе .
• К 2017 году группа китайских математиков создала собственный алгоритм для поиска периодических траекторий, названный ими «чистое численное моделирование» ( Clean Numerical Simulation ). С его помощью учёные рассчитали новые траектории, в результате число известных семейств периодических траекторий для задачи трёх тел стало равным 695. Продолжая работу, эта группа учёных рассчитала ещё 1223 частных решений задачи.
• В 2018 году математик и его коллеги из Шанхайского университета транспорта с помощью суперкомпьютера нашли 234 новых частных решения для задачи трёх тел без коллизий .

Общий случай

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу ( 1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II ):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной.

— Погребысский И. Б. Комментарий к Задаче трёх тел Пуанкаре // Пуанкаре А . Избранные труды. — Т. 2. — М.: Наука, 1979. — С. 967—976.

Приближённое решение

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами , желал получить выражение для координат тел в виде

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)}$ ,

где ${\displaystyle P_{n}}$ — некоторые полиномы.

Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

• Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией ${\displaystyle t}$ в интервале ${\displaystyle [0,t_{0})}$ и перестает быть таковым при ${\displaystyle t=t_{0}}$ , то при ${\displaystyle t\rightarrow t_{0}-0}$ или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). ( Пенлеве , 1897);
• Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. ( Ф. А. Слудский , 1874);
• Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр ${\displaystyle s}$ , через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси ${\displaystyle s}$ . ( Зундман , 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet) ).

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от ${\displaystyle t}$ , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями ${\displaystyle s}$ вдоль всей вещественной оси плоскости ${\displaystyle s}$ , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса ${\displaystyle |v|<1}$ , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра ${\displaystyle v}$ , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням ${\displaystyle v}$ . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912 , точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий , по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум ${\displaystyle 10^{8\cdot 10^{6}}}$ членов.

Точное решение

Система трёх тел является простейшей системой с динамическим хаосом .

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой . Сделанное ими открытие означает, что динамические системы не изоморфны .

Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также

• Задача двух тел
• Гравитационная задача N тел
• Майкл Минович
• Уравнения Фаддеева (задача трёх частиц в квантовой механике)

Примечания

Литература

• Алексеев В. М. Лекции по небесной механике. — Ижевск: РХД, 2001. — 156 с.
• Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. — М. : ИЛ, 1959. — 300 с.
• Маршал К. Задача трёх тел. — Ижевск: РХД, 2004. — 640 с.
• Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Ссылки

• Chenciner, Alain (2007). . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : . doi : .
• (неопр.) . Popular Mechanics (13 мая 2021).