Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция , совпадающая с заданной функцией ${\displaystyle f}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D , содержащей C — продолжение функции ${\displaystyle f}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно .

Понятие введено Карлом Вейерштрассом в 1842 году , им же развита соответствующая техника построения таких расширений.

Частный случай для голоморфных функций — голоморфное продолжение .

Определение

Единственность

Не во всяком случае аналитическое продолжение существует, но оно всегда единственно : любые две аналитические функции, продолженные с одной и той же функции, всегда совпадают. Для голоморфных функций (частный случай аналитических) единственность может быть выведена из следующего факта: если функция f тождественно равна нулю , то любое её продолжение всюду равно нулю. Поскольку голоморфные функции образуют линейное пространство , этого достаточно для единственности голоморфного продолжения.

Способы построения

Элементарные методы

Для самых элементарных функций, таких как степенная функция и экспонента , аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется со множества весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет комплексных внутренних точек .

Для более сложных случаев применяются более искусственные приёмы. Например, рассмотрим некоторый сходящийся в круге ${\displaystyle \Delta _{a}=\{z\colon |z-a|<\rho \}}$ ряд Тейлора , где ${\displaystyle \rho }$ — радиус сходимости этого ряда. Согласно одному из эквивалентных определений, таким образом получена аналитическая в круге ${\displaystyle \Delta _{a}}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ . Что это значит? Это не значит, что в любой точке за пределами ${\displaystyle \Delta _{a}}$ полученная функция уже не будет аналитической, это в данный момент неизвестно, это просто значит, что существует точка ${\displaystyle z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho }$ такая, что ряд в этой точке расходится. Однако можно выбрать некоторую точку ${\displaystyle b\in \Delta _{a}}$ — так как в этой точке функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитична, то её можно разложить в ряд, сходящийся в некотором круге ${\displaystyle \Delta _{b}=\{z\colon |z-b|<\theta \}}$ . Если для нового радиуса сходимости ${\displaystyle \theta }$ выполнено соотношение ${\displaystyle \theta >\rho -|a-b|}$ , то уже будут существовать точки, принадлежащие ${\displaystyle \Delta _{b}}$ , но не принадлежащие ${\displaystyle \Delta _{a}}$ , а из этого в силу теоремы единственности будет следовать, что функция, определенная изначально только в ${\displaystyle \Delta _{a}}$ , продолжена на некоторое большее множество, а именно на ${\displaystyle \Delta _{a}\cup \Delta _{b}}$ . В случае, если такое невозможно, то окружность ${\displaystyle \partial \Delta _{a}}$ будет аналитического продолжения.

Для многих специальных функций аналитическое продолжение осуществляется с помощью некоторого функционального уравнения. Берётся некоторая область, в которой решение этого уравнения заведомо аналитично, и осуществляется перенос результатов на бо́льшую область. В основном таким способом строятся продолжения специальных функций вещественного анализа — например, гамма-функции и дзета-функции Римана .

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей

Для построения аналитических продолжений в нетривиальных случаях используется понятие аналитического элемента .

Элементы ${\displaystyle P=(G,f)}$ и ${\displaystyle Q=(H,g)}$ называются аналитическим продолжением друг друга через цепочку областей ${\displaystyle \{\Delta \}_{1}^{n}}$ , если существует последовательность элементов ${\displaystyle P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\dots ,n}$ и выполняются следующие три условия:

1. ${\displaystyle P_{0}=P,\,P_{n}=Q}$ ;
2. Для произвольных последовательных областей из цепочки их пересечение ${\displaystyle D_{k}\cap D_{k+1}}$ непусто и ${\displaystyle \Delta _{k}}$ — определенная его связная компонента;
3. Элемент ${\displaystyle P_{k+1}}$ является аналитическим продолжением ${\displaystyle P_{k}}$ через множество ${\displaystyle \Delta _{k}}$ .

Росток можно рассматривать как аналитический элемент, состоящий из круга сходимости и собственно аналитической функции — суммы ряда. Такого вида элементы имеют собственное название — канонические элементы и обзоначаются как ${\displaystyle (K,f)}$ , где ${\displaystyle K}$ — круг сходимости ряда, а ${\displaystyle f}$ — его сумма. Центром канонического элемента называется центр круга сходимости определяющего его ряда.

Аналитическое продолжение вдоль пути

Для построения аналитического продолжения вдоль пути в развитие техники «дискретного» построения относительно цепочки областей необходимо осуществить переход, в некотором смысле сходный переходу от последовательности к функции.

Рассматривается канонический элемент ${\displaystyle P_{0}=(K_{0},f_{0})}$ с центром в точке ${\displaystyle z=z_{0}}$ и некоторая непрерывная жорданова кривая ${\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ ( ${\displaystyle \Gamma =\varphi ([0;1])}$ ), обладающая свойством ${\displaystyle z_{0}=\varphi (0)}$ .

Предположим, что существует семейство канонических элементов ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\in [0;1]}}$ с ненулевыми радиусами сходимости, такое, что ${\displaystyle \varphi (t)}$ — центр элемента ${\displaystyle P_{t}}$ и для произвольного ${\displaystyle t_{0}\in [0;1]}$ существует такая окрестность ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{t_{0}}\subset [0;1]}$ (понимаемая в смысле окрестностей на вещественной прямой), удовлетворяющая условию ${\displaystyle \varphi ({\mathcal {U}}_{t_{0}})\subset K_{t_{0}}}$ ; тогда, если для любого ${\displaystyle t\in {\mathcal {U}}_{t_{0}}}$ элемент ${\displaystyle P_{t}}$ является непосредственным продолжением элемента ${\displaystyle P_{t_{0}}}$ , то считается, что элемент ${\displaystyle P_{0}}$ таким образом аналитически продолжается вдоль пути ${\displaystyle \Gamma }$ .

Выбирать семейство областей можно произвольным образом, так как можно доказать, что результат аналитического продолжения не зависит от выбора семейства областей.

Достаточно интересным свойством обладает также функция ${\displaystyle R(t)\colon [0;1]\to (0;+\infty )}$ — радиус круга сходимости ${\displaystyle K_{t}.}$ . Для семейства, упомянутого в определении продолжения вдоль пути, функция ${\displaystyle R(t)}$ будет непрерывна в смысле вещественного анализа на ${\displaystyle [0;1]}$ .

Допустим, что канонический элемент ${\displaystyle Q}$ получен из элемента ${\displaystyle P}$ путём аналитического продолжения вдоль некоторого пути ${\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ через промежуточное семейство элементов ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\in [0;1]}}$ . Тогда, если выбрать некоторую возрастающую последовательность ${\displaystyle 0,t_{1},t_{2},\dots ,t_{n},1}$ элементов отрезка ${\displaystyle [0;1]}$ , где круги ${\displaystyle K_{k}}$ и ${\displaystyle K_{k+1}}$ будут пересекаться, то элемент ${\displaystyle Q=P_{1}}$ будет аналитическим продолжением элемента ${\displaystyle P=P_{0}}$ через цепочку областей ${\displaystyle K_{t_{1}},K_{t_{2}},\dots ,K_{t_{n}}}$ .

Одним из самых интересных результатов будет теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения и её следствие — теорема о монодромии .

Полная аналитическая функция

Развив аппарат аналитического продолжения вдоль путей, теперь можно перейти от изначальной аналитической функции через аналитические и канонические элементы к более общему понятию — полной аналитической функции . Таким термином будет обозначаться совокупность всех канонических элементов, получаемых из какого-либо первоначального элемента ${\displaystyle P}$ методом аналитического продолжения относительно всех возможных жордановых кривых, допускающих такое продолжение и берущих начало в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — центре элемента ${\displaystyle P}$ .

Проясняет внутреннее устройство такого весьма абстрактного понятия теорема Пуанкаре — Вольтерры , гласящая, что в каждой точке своей области определения полная аналитическая функция может иметь не более чем счетное множество элементов с центром в этой точке.

Важность понятия полной аналитической функции состоит в том, что оно позволяет с более общей точки зрения изучить понятие особой точки . А именно, особые точки для полной аналитической функции — просто точки границы области её определения. В зависимости от поведения функции в окрестности этих точек определяется их характер.

Рассмотрим некоторую особую точку ${\displaystyle z_{0}}$ для полной аналитической функции ${\displaystyle \mathbf {f} }$ и некоторую её проколотую окрестность ${\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}}$ , принадлежащую области определения ${\displaystyle \mathbf {f} }$ . Выберем какую-нибудь замкнутую жорданову кривую ${\displaystyle \Gamma \subset {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}}$ . Если аналитическое продолжение вдоль кривой ${\displaystyle \Gamma }$ приводит к тому же элементу, то точка называется особой точкой однозначного характера и интерпретируется как просто изолированная особая точка ; если же результатом аналитического продолжения будет уже другой элемент, то точка называется особой точкой многозначного характера , или точкой ветвления .

Теорема Адамара

Для степенного ряда

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$ ,

у которого почти все коэффициенты равны нулю в том смысле, что последовательность номеров ненулевых коэффициентов ${\displaystyle k(i)}$ удовлетворяет

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta \,}$

для некоторого фиксированного δ > 0 , круг с центром z ₀ и радиусом, равным радиусу сходимости , является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом , невозможно за пределы круга.

Обобщения и связанные понятия

Аналитическое продолжение может рассматриваться на областях не только в комплексной плоскости, но и в римановых поверхностях , и, более общо, на комплексных многообразиях : D должно быть комплексным многообразием, а C — его подмножеством. Если C — область в D и для любой области C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' найдётся функция, голоморфная на C , но не продолжаемая на C′ , то C называется . В комплексно-одномерном случае всякая область является областью голоморфности, в многомерном случае это не так.

Можно рассматривать и аналитическое продолжение со множеств C , не являющимися областями, например, с действительной прямой . В таком случае функция f изначально определена на некотором (зависящем от функции) открытом множестве, содержащем C .

См. также

• Принцип непрерывности
• Принцип симметрии Шварца
• Теорема Боголюбова «об острие клина»

Примечания

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М. : Наука , 1968 . — 472 с.
• Лаврентьев М. А. , Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М. : Наука , 1972 .
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М. : Наука , 1969 . — 577 с.

Для улучшения этой статьи желательно : Проставить сноски , внести более точные указания на источники. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.