Метод Ньютона , алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных ) — это итерационный численный метод нахождения корня ( нуля ) заданной функции . Метод был впервые предложен английским физиком , математиком и астрономом Исааком Ньютоном ( 1643 — 1727 ). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации . Метод обладает квадратичной сходимостью . Модификацией метода является метод хорд и касательных . Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации , в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Описание метода

Вывод

Чтобы численно решить уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ методом простой итерации , его необходимо привести к эквивалентному уравнению: ${\displaystyle x=\varphi (x)}$ , где ${\displaystyle \varphi }$ — сжимающее отображение .

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения ${\displaystyle x^{*}}$ должно выполняться условие ${\displaystyle \varphi '(x^{*})=0}$ . Решение данного уравнения ищут в виде ${\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)}$ , тогда:

${\displaystyle \varphi '(x^{*})=1+\alpha '(x^{*})f(x^{*})+\alpha (x^{*})f'(x^{*})=0.}$

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ и что заданная функция непрерывна ${\displaystyle (f(x^{*})\approx f({\tilde {x}})=0)}$ , окончательная формула для ${\displaystyle \alpha (x)}$ такова:

${\displaystyle \alpha (x)=-{\frac {1}{f'(x)}}.}$

С учётом этого функция ${\displaystyle \varphi (x)}$ определяется:

${\displaystyle \varphi (x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}.}$

При некоторых условиях эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение.

В этом случае алгоритм нахождения численного решения уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ сводится к итерационной процедуре вычисления :

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ .

Геометрическая интерпретация

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть 1) вещественнозначная функция ${\displaystyle f(x)\colon (a,\,b)\to \mathbb {R} }$ непрерывно дифференцируема на интервале ${\displaystyle (a,\,b)}$ ;
2) существует искомая точка ${\displaystyle x^{*}\in (a,\,b)}$ : ${\displaystyle f(x^{*})=0}$ ;
3) существуют ${\displaystyle C>0}$ и ${\displaystyle \delta >0}$ такие, что
${\displaystyle \vert f'(x)\vert \geqslant C}$ для ${\displaystyle x\in (a,\,x^{*}-\delta ]\cup [x^{*}+\delta ,\,b)}$
и ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ для ${\displaystyle x\in (x^{*}-\delta ,\,x^{*})\cup (x^{*},\,x^{*}+\delta )}$ ;
4) точка ${\displaystyle x_{n}\in (a,\,b)}$ такова, что ${\displaystyle f(x_{n})\neq 0}$ .
Тогда формула итеративного приближения ${\displaystyle x_{n}}$ к ${\displaystyle x^{*}}$ может быть выведена из геометрического смысла касательной следующим образом:

${\displaystyle f'(x_{n})=\mathrm {tg} \,\alpha _{n}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{n})-0}{x_{n}-x_{n+1}}}={\frac {0-f(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}},}$

где ${\displaystyle \alpha _{n}}$ — угол наклона касательной прямой ${\displaystyle y(x)=f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \mathrm {tg} \,\alpha _{n}}$ к графику ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle (x_{n};f(x_{n}))}$ .

Следовательно (в уравнении касательной прямой полагаем ${\displaystyle y(x_{n+1})=0}$ ) искомое выражение для ${\displaystyle x_{n+1}}$ имеет вид :

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$

Если ${\displaystyle x_{n+1}\in (a,\,b)}$ , то это значение можно использовать в качестве следующего приближения к ${\displaystyle x^{*}}$ .

Если ${\displaystyle x_{n+1}\notin (a,\,b)}$ , то имеет место «перелёт» (корень ${\displaystyle x^{*}}$ лежит рядом с границей ${\displaystyle (a,\,b)}$ ). В этом случае надо (воспользовавшись идеей метода половинного деления ) заменять ${\displaystyle x_{n+1}}$ на ${\displaystyle {\frac {x_{n}+x_{n+1}}{2}}}$ до тех пор, пока точка «не вернётся» в область поиска ${\displaystyle (a,\,b)}$ .

Замечания. 1) Наличие непрерывной производной даёт возможность строить непрерывно меняющуюся касательную на всей области поиска решения ${\displaystyle (a,\,b)\;}$ .
2) Случаи граничного (в точке ${\displaystyle a}$ или в точке ${\displaystyle b}$ ) расположения искомого решения ${\displaystyle x^{*}}$ рассматриваются аналогичным образом.
3) С геометрической точки зрения равенство ${\displaystyle f'(x_{n})=0}$ означает, что касательная прямая к графику ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle (x_{n};f(x_{n}))}$ - параллельна оси ${\displaystyle OX}$ и при ${\displaystyle f(x_{n})\neq 0}$ не пересекается с ней в конечной части.
4) Чем больше константа ${\displaystyle C>0}$ и чем меньше константа ${\displaystyle \delta >0}$ из пункта 3 условий, тем для ${\displaystyle x_{n}\in (a,\,x^{*}-\delta ]\cup [x^{*}+\delta ,\,b)}$ пересечение касательной к графику ${\displaystyle f}$ и оси ${\displaystyle OX}$ ближе к точке ${\displaystyle (x^{*};\;0)}$ , то есть тем ближе значение ${\displaystyle x_{n+1}}$ к искомой ${\displaystyle x^{*}\in (a,\,b)}$ .

Итерационный процесс начинается с некоторого начального приближения ${\displaystyle x_{0}\in (a,\,b)}$ , причём между ${\displaystyle x_{0}\in (a,\,b)}$ и искомой точкой ${\displaystyle x^{*}\in (a,\,b)}$ не должно быть других нулей функции ${\displaystyle f}$ , то есть «чем ближе ${\displaystyle x_{0}}$ к искомому корню ${\displaystyle x^{*}}$ , тем лучше». Если предположения о нахождении ${\displaystyle x^{*}}$ отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях .

Для предварительно заданных ${\displaystyle \varepsilon _{x}>0}$ , ${\displaystyle \varepsilon _{f}>0}$ итерационный процесс завершается если ${\displaystyle \left\vert {\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\right\vert \approx \vert x_{n+1}-x_{n}\vert <\varepsilon _{x}}$ и ${\displaystyle \vert f(x_{n+1})\vert <\varepsilon _{f}}$ .
В частности, для матрицы дисплея ${\displaystyle \varepsilon _{x}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{f}}$ могут быть рассчитаны, исходя из масштаба отображения графика ${\displaystyle f}$ , то есть если ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle x_{n+1}}$ попадают в один вертикальный, а ${\displaystyle f(x_{n})}$ и ${\displaystyle f(x_{n+1})}$ в один горизонтальный ряд.

Алгоритм

1. Задается начальное приближение ${\displaystyle x_{0}}$ .
2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять ${\displaystyle |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon }$ или ${\displaystyle |f(x_{n+1})|<\varepsilon }$ (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$ .

Пример

Иллюстрация применения метода Ньютона к функции ${\displaystyle f(x)=\cos x-x^{3}}$ с начальным приближением в точке ${\displaystyle x_{0}=0{,}5}$ .
Согласно способу практического определения скорость сходимости может быть оценена как тангенс угла наклона графика сходимости, то есть в данном случае равна двум.

Рассмотрим задачу о нахождении положительных ${\displaystyle x}$ , для которых ${\displaystyle \cos x=x^{3}}$ . Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции ${\displaystyle f(x)=\cos x-x^{3}}$ . Имеем выражение для производной ${\displaystyle f'(x)=-\sin x-3x^{2}}$ . Так как ${\displaystyle \cos x\leqslant 1}$ для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle x^{3}>1}$ для ${\displaystyle x>1}$ , очевидно , что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение ${\displaystyle x_{0}=0{,}5}$ , тогда:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&1{,}112\;141\;637\;097,\\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&{\underline {0{,}}}909\;672\;693\;736,\\x_{3}&=&x_{2}-{\dfrac {f(x_{2})}{f'(x_{2})}}&=&{\underline {0{,}86}}7\;263\;818\;209,\\x_{4}&=&x_{3}-{\dfrac {f(x_{3})}{f'(x_{3})}}&=&{\underline {0{,}865\;47}}7\;135\;298,\\x_{5}&=&x_{4}-{\dfrac {f(x_{4})}{f'(x_{4})}}&=&{\underline {0{,}865\;474\;033\;1}}11,\\x_{6}&=&x_{5}-{\dfrac {f(x_{5})}{f'(x_{5})}}&=&{\underline {0{,}865\;474\;033\;102}}.\end{matrix}}}$

Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры . Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости .

Условия применения

Рассмотрим ряд примеров, указывающих на недостатки метода.

Контрпримеры

• Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.

Пусть

${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x+2.}$

Тогда

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{3}-2x_{n}+2}{3x_{n}^{2}-2}}.}$

Возьмём ноль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст ноль. Метод зациклится и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным .

• Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Рассмотрим функцию:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&x=0,\\x+x^{2}\sin \left({\dfrac {2}{x}}\right),&x\neq 0.\end{cases}}}$

Тогда ${\displaystyle f'(0)=1}$ и ${\displaystyle f'(x)=1+2x\sin(2/x)-2\cos(2/x)}$ всюду, кроме 0.

В окрестности корня производная меняет знак при приближении ${\displaystyle x}$ к нулю справа или слева. В то время, как ${\displaystyle f(x)\geqslant x-x^{2}>0}$ для ${\displaystyle 0<x<1}$ .

Таким образом ${\displaystyle f(x)/f'(x)}$ не ограничено вблизи корня, и метод будет расходиться, хотя функция всюду дифференцируема, её производная не равна нулю в корне, ${\displaystyle f}$ бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне, а её производная ограничена в окрестности корня.

• Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Рассмотрим пример:

${\displaystyle f(x)=x+x^{4/3}.}$

Тогда ${\displaystyle f'(x)=1+(4/3)x^{1/3}}$ и ${\displaystyle f''(x)=(4/9)x^{-2/3}}$ за исключением ${\displaystyle x=0}$ , где она не определена.

На очередном шаге имеем ${\displaystyle x_{n}}$ :

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {(1/3)x_{n}^{4/3}}{(1+(4/3)x_{n}^{1/3})}}.}$

Скорость сходимости полученной последовательности составляет приблизительно 4/3. Это существенно меньше, нежели 2, необходимое для квадратичной сходимости, поэтому в данном случае можно говорить лишь о линейной сходимости, хотя функция всюду непрерывно дифференцируема , производная в корне не равна нулю, и ${\displaystyle f}$ бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне.

• Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть

${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$

Тогда ${\displaystyle f'(x)=2x}$ и следовательно ${\displaystyle x-f(x)/f'(x)=x/2}$ . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.

Ограничения

Пусть задано уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ , где ${\displaystyle f(x)\colon \mathbb {X} \to \mathbb {R} }$ и надо найти его решение.

Ниже приведена формулировка основной теоремы, которая позволяет дать чёткие условия применимости. Она носит имя советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича ( 1912 — 1986 ).

Теорема Канторовича.

Если существуют такие константы ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ , что:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{|f'(x)|}}<A}$ на ${\displaystyle [a,\;b]}$ , то есть ${\displaystyle f'(x)}$ существует и не равна нулю;
2. ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{f'(x)}}\right|<B}$ на ${\displaystyle [a,\;b]}$ , то есть ${\displaystyle f(x)}$ ограничена;
3. ${\displaystyle \exists f''(x)}$ на ${\displaystyle [a,\;b]}$ , и ${\displaystyle |f''(x)|\leqslant C\leqslant {\frac {1}{2AB}}}$ ;

Причём длина рассматриваемого отрезка ${\displaystyle |a-b|<{\frac {1}{AB}}\left(1-{\sqrt {1-2ABC}}\right)}$ . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. на ${\displaystyle [a,\;b]}$ существует корень ${\displaystyle x^{*}}$ уравнения ${\displaystyle f(x)=0\colon \exists x^{*}\in [a,\;b]\colon f(x^{*})=0}$ ;
2. если ${\displaystyle x_{0}={\frac {a+b}{2}}}$ , то итерационная последовательность сходится к этому корню: ${\displaystyle \left\{x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\right\}\to x^{*}}$ ;
3. погрешность может быть оценена по формуле ${\displaystyle |x^{*}-x_{n}|\leqslant {\frac {B}{2^{n-1}}}(2ABC)^{2^{n-1}}}$ .

Из последнего из утверждений теоремы в частности следует квадратичная сходимость метода:

${\displaystyle |x^{*}-x_{n}|\leqslant {\frac {B}{2^{n-1}}}(2ABC)^{2^{n-1}}={\frac {1}{2}}{\frac {B}{2^{n-2}}}\left((2ABC)^{2^{n-2}}\right)^{2}=\alpha |x^{*}-x_{n-1}|^{2}.}$

Тогда ограничения на исходную функцию ${\displaystyle f(x)}$ будут выглядеть так:

1. функция должна быть ограничена;
2. функция должна быть гладкой , дважды дифференцируемой ;
3. её первая производная ${\displaystyle f'(x)}$ равномерно отделена от нуля;
4. её вторая производная ${\displaystyle f''(x)}$ должна быть равномерно ограничена.

Историческая справка

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов» ( лат. «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» ), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» ( лат. «De metodis fluxionum et serierum infinitarum» ) или «Аналитическая геометрия» ( лат. «Geometria analytica» ) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году . В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд , бесконечно малые и флюксии ( производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам . Он вычислял не последовательные приближения ${\displaystyle x_{n}}$ , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение ${\displaystyle x}$ .

Этот же метод применён Ньютоном в его трактате " Математические начала " для решения уравнения Кеплера , где Ньютон предложил вполне современную аналитическую форму вычисления, записав последовательность приближений в виде переразлагаемого в каждой новой точке аналитического ряда:

ряд ... сходится настолько быстро, что едва ли когда-нибудь понадобится идти в нём далее второго члена ...

—

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году , по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе «Общий анализ уравнений» ( лат. «Analysis aequationum universalis» ). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений ${\displaystyle x_{n}}$ вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента .

В 1879 году Артур Кэли в работе «Проблема комплексных чисел Ньютона — Фурье» ( англ. «The Newton-Fourier imaginary problem» ) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов .

Обобщения и модификации

Метод секущих

Родственный метод секущих является «приближённым» методом Ньютона и позволяет не вычислять производную. Значение производной в итерационной формуле заменяется её оценкой по двум предыдущим точкам итераций:

${\displaystyle f'(x_{n})\approx {\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}}$ .

Таким образом, основная формула имеет вид

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot {\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}.}$

Этот метод схож с методом Ньютона, но имеет немного меньшую скорость сходимости. Порядок сходимости метода равен золотому сечению — 1,618…

Замечания. 1) Для начала итерационного процесса требуются два различных значения ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ .
2) В отличие от «настоящего метода Ньютона» (метода касательных), требующего хранить только ${\displaystyle x_{n}}$ (и в ходе вычислений — временно ${\displaystyle f(x_{n})}$ и ${\displaystyle f'(x_{n})}$ ), для метода секущих требуется сохранение ${\displaystyle x_{n-1}}$ , ${\displaystyle x_{n}}$ , ${\displaystyle f(x_{n-1})}$ , ${\displaystyle f(x_{n})}$ .
3) Применяется, если вычисление ${\displaystyle f'(x)}$ затруднено (например, требует большого количества машинных ресурсов: времени и/или памяти).

Метод одной касательной

В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной.

Формула итераций этого метода имеет вид:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{f'(x_{0})}}f(x_{n}).}$

Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения ${\displaystyle x_{0}}$ , а затем использовать это значение на каждой последующей итерации:

${\displaystyle \alpha (x)=\alpha _{0}=-{\dfrac {1}{f'(x_{0})}}.}$

При таком выборе ${\displaystyle \alpha _{0}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ выполнено равенство:

${\displaystyle \varphi '(x_{0})=1+\alpha _{0}f'(x_{0})=0,}$

и если отрезок, на котором предполагается наличие корня ${\displaystyle x^{*}}$ и выбрано начальное приближение ${\displaystyle x_{0}}$ , достаточно мал, а производная ${\displaystyle \varphi '(x)}$ непрерывна, то значение ${\displaystyle \varphi '(x^{*})}$ будет не сильно отличаться от ${\displaystyle \varphi '(x_{0})=0}$ и, следовательно, график ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ пройдёт почти горизонтально, пересекая прямую ${\displaystyle y=x}$ , что в свою очередь обеспечит быструю сходимость последовательности точек приближений к корню.

Этот метод является частным случаем метода простой итерации . Он имеет линейный порядок сходимости.

Метод Ньютона-Фурье

Метод Ньютона-Фурье - это расширение метода Ньютона, выведенное Жозефом Фурье для получения оценок на абсолютную ошибку аппроксимации корня, в то же время обеспечивая квадратичную сходимость с обеих сторон.

Предположим, что f ( x ) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [ a , b ] и что f имеет корень на этом интервале. Дополнительно положим, что f ′ ( x ), f ″ ( x ) ≠ 0 на этом отрезке (например, это верно, если f ( a ) < 0 , f ( b ) > 0 , и f ″ ( x ) > 0 на этом отрезке). Это гарантирует наличие единственного корня на этом отрезке, обозначим его α . Эти рассуждения относятся к вогнутой вверх функции. Если она вогнута вниз, то заменим f ( x ) на − f ( x ) , поскольку они имеют одни и те же корни.

Пусть x ₀ = b будет правым концом отрезка, на котором мы ищем корень, а z ₀ = a - левым концом того же отрезка. Если x _n найдено, определим

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},}$

которое выражает обычный метод Ньютона, как описано выше. Затем определим

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(x_{n})}},}$

где знаменатель равен f ′ ( x _n ) , а не f ′ ( z _n ) . Итерации x _n будут строго убывающими к корню, а итерации z _n - строго возрастающими к корню. Также выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-z_{n+1}}{(x_{n}-z_{n})^{2}}}={\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}}$ ,

таким образом, расстояние между x _n и z _n уменьшается квадратичным образом.

Многомерный случай

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Пусть необходимо найти решение системы:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&=&0,\\\ldots &&\\f_{m}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&=&0.\end{array}}\right.}$

Выбирая некоторое начальное значение ${\displaystyle {\vec {x}}^{[0]}}$ , последовательные приближения ${\displaystyle {\vec {x}}^{[j+1]}}$ находят путём решения систем уравнений :

${\displaystyle f_{i}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x_{k}^{[j+1]}-x_{k}^{[j]})=0,\qquad i=1,\;2,\;\ldots ,\;m,}$

где ${\displaystyle {\vec {x}}^{[j]}=(x_{1}^{[j]},\;x_{2}^{[j]},\;\ldots ,\;x_{n}^{[j]}),\quad j=0,\;1,\;2,\;\ldots }$ .

Применительно к задачам оптимизации

Пусть необходимо найти минимум функции многих переменных ${\displaystyle f({\vec {x}})\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ . Эта задача равносильна задаче нахождения нуля градиента ${\displaystyle \nabla f({\vec {x}})}$ . Применим изложенный выше метод Ньютона:

${\displaystyle \nabla f({\vec {x}}^{[j]})+H({\vec {x}}^{[j]})({\vec {x}}^{[j+1]}-{\vec {x}}^{[j]})=0,\quad j=1,\;2,\;\ldots ,\;n,}$

где ${\displaystyle H({\vec {x}})}$ — гессиан функции ${\displaystyle f({\vec {x}})}$ .

В более удобном итеративном виде это выражение выглядит так:

${\displaystyle {\vec {x}}^{[j+1]}={\vec {x}}^{[j]}-H^{-1}({\vec {x}}^{[j]})\nabla f({\vec {x}}^{[j]}).}$

В случае квадратичной функции метод Ньютона находит экстремум за одну итерацию.

Нахождение матрицы Гессе связано с большими вычислительными затратами, и зачастую не представляется возможным. В таких случаях альтернативой могут служить квазиньютоновские методы , в которых приближение матрицы Гессе строится в процессе накопления информации о кривизне функции.

Метод Ньютона — Рафсона

Метод Ньютона — Рафсона является улучшением метода Ньютона нахождения экстремума, описанного выше. Основное отличие заключается в том, что на очередной итерации каким-либо из методов одномерной оптимизации выбирается оптимальный шаг:

${\displaystyle {\vec {x}}^{[j+1]}={\vec {x}}^{[j]}-\lambda _{j}H^{-1}({\vec {x}}^{[j]})\nabla f({\vec {x}}^{[j]}),}$

где ${\displaystyle \lambda _{j}=\arg \min _{\lambda }f({\vec {x}}^{[j]}-\lambda H^{-1}({\vec {x}}^{[j]})\nabla f({\vec {x}}^{[j]})).}$ Для оптимизации вычислений применяют следующее улучшение: вместо того, чтобы на каждой итерации заново вычислять гессиан целевой функции , ограничиваются начальным приближением ${\displaystyle H(f({\vec {x}}^{[0]}))}$ и обновляют его лишь раз в ${\displaystyle m}$ шагов, либо не обновляют вовсе.

Применительно к задачам о наименьших квадратах

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется произвести настройку свободных параметров объекта или подогнать математическую модель под реальные данные. В этих случаях появляются задачи о наименьших квадратах :

${\displaystyle F({\vec {x}})=\|{\vec {f}}({\vec {x}})\|=\sum _{i=1}^{m}f_{i}^{2}({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}(\varphi _{i}({\vec {x}})-{\mathcal {F}}_{i})^{2}\to \min .}$

Эти задачи отличаются особым видом градиента и матрицы Гессе :

${\displaystyle \nabla F({\vec {x}})=2J^{T}({\vec {x}}){\vec {f}}({\vec {x}}),}$

${\displaystyle H({\vec {x}})=2J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})+2Q({\vec {x}}),\qquad Q({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}f_{i}({\vec {x}})H_{i}({\vec {x}}),}$

где ${\displaystyle J({\vec {x}})}$ — матрица Якоби вектор-функции ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}})}$ , ${\displaystyle H_{i}({\vec {x}})}$ — матрица Гессе для её компоненты ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}})}$ .

Тогда очередной шаг ${\displaystyle {\vec {p}}}$ определяется из системы:

${\displaystyle \left[J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})+\sum _{i=1}^{m}f_{i}({\vec {x}})H_{i}({\vec {x}})\right]{\vec {p}}=-J^{T}({\vec {x}}){\vec {f}}({\vec {x}}).}$

Метод Гаусса — Ньютона

Метод Гаусса — Ньютона строится на предположении о том, что слагаемое ${\displaystyle J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})}$ доминирует над ${\displaystyle Q({\vec {x}})}$ . Это требование не соблюдается, если минимальные невязки велики, то есть если норма ${\displaystyle \|{\vec {f}}({\vec {x}})\|}$ сравнима с максимальным собственным значением матрицы ${\displaystyle J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}})}$ . В противном случае можно записать:

${\displaystyle J^{T}({\vec {x}})J({\vec {x}}){\vec {p}}=-J^{T}({\vec {x}}){\vec {f}}({\vec {x}}).}$

Таким образом, когда норма ${\displaystyle \|Q({\vec {x}})\|}$ близка к нулю, а матрица ${\displaystyle J({\vec {x}})}$ имеет полный столбцевой ранг , шаг ${\displaystyle {\vec {p}}}$ мало отличается от ньютоновского (с учётом ${\displaystyle Q({\vec {x}})}$ ), и метод может достигать квадратичной скорости сходимости, хотя вторые производные и не учитываются. Улучшением метода является алгоритм Левенберга — Марквардта , основанный на эвристических соображениях.

Обобщение на комплексную плоскость

До сих пор в описании метода использовались функции, осуществляющие отображения в пределах множества вещественных значений . Однако метод может быть применён и для нахождения нуля функции комплексной переменной . При этом процедура остаётся неизменной:

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n})}}.}$

Особый интерес представляет выбор начального приближения ${\displaystyle z_{0}}$ . Ввиду того, что функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям, и вполне естественно возникает желание выяснить, какие области обеспечат сходимость к тому или иному корню. Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году , однако разрешить его смогли лишь в 70 -х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения ) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.

Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам , фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона .

Реализация

Scala

object NewtonMethod {

  val accuracy = 1e-6

  @tailrec
  def method(x0: Double, f: Double => Double, dfdx: Double => Double, e: Double): Double = {
    val x1 = x0 - f(x0) / dfdx(x0)
    if (abs(x1 - x0) < e) x1
    else method(x1, f, dfdx, e)
  }

  def g(C: Double) = (x: Double) => x*x - C

  def dgdx(x: Double) = 2*x

  def sqrt(x: Double) = x match {
    case 0 => 0
    case x if (x < 0) => Double.NaN
    case x if (x > 0) => method(x/2, g(x), dgdx, accuracy) 
  }
}

Python

from math import sin, cos
from typing import Callable
import unittest


def newton(f: Callable[[float], float], f_prime: Callable[[float], float], x0: float, 
	eps: float=1e-7, kmax: int=1e3) -> float:
	"""
	solves f(x) = 0 by Newton's method with precision eps
	:param f: f
	:param f_prime: f'
	:param x0: starting point
	:param eps: precision wanted
	:return: root of f(x) = 0
	"""
	x, x_prev, i = x0, x0 + 2 * eps, 0
	
	while abs(x - x_prev) >= eps and i < kmax:
		x, x_prev, i = x - f(x) / f_prime(x), x, i + 1

	return x


class TestNewton(unittest.TestCase):
	def test_0(self):
		def f(x: float) -> float:
			return x**2 - 20 * sin(x)


		def f_prime(x: float) -> float:
			return 2 * x - 20 * cos(x)


		x0, x_star = 2, 2.7529466338187049383

		self.assertAlmostEqual(newton(f, f_prime, x0), x_star)


if __name__ == '__main__':
	unittest.main()

PHP

<?php
// PHP 5.4
function newtons_method(
	$a = -1, $b = 1, 
	$f = function($x) {
	
		return pow($x, 4) - 1;
	
	},
	$derivative_f = function($x) {

		return 4 * pow($x, 3);
	
	}, $eps = 1E-3) {

        $xa = $a;
        $xb = $b;

        $iteration = 0;

        while (abs($xb) > $eps) {

            $p1 = $f($xa);
            $q1 = $derivative_f($xa);
            $xa -= $p1 / $q1;
            $xb = $p1;
            ++$iteration;

        }

        return $xa;

}

Octave

function res = nt()
  eps = 1e-7;
  x0_1 = [-0.5,0.5];
  max_iter = 500;
  xopt = new(@resh, eps, max_iter);   
  xopt
endfunction
function a = new(f, eps, max_iter)
  x=-1;
  p0=1;
  i=0;
 while (abs(p0)>=eps)
    [p1,q1]=f(x);
    x=x-p1/q1;
   p0=p1;
   i=i+1;
 end
 i
 a=x;
endfunction
function[p,q]= resh(x)   % p= -5*x.^5+4*x.^4-12*x.^3+11*x.^2-2*x+1;
   p=-25*x.^4+16*x.^3-36*x.^2+22*x-2;
   q=-100*x.^3+48*x.^2-72*x+22;
endfunction

Delphi

// вычисляемая функция
function fx(x: Double): Double;
begin
  Result := x * x - 17;
end;

// производная функция от f(x)
function dfx(x: Double): Double;
begin
  Result := 2 * x;
end;

function solve(fx, dfx: TFunc<Double, Double>; x0: Double): Double;
const
  eps = 0.000001;
var
  x1: Double;
begin
  x1 := x0 - fx(x0) / dfx(x0); // первое приближение
  while (Abs(x1-x0) > eps) do begin // пока не достигнута точность 0.000001
    x0 := x1;
    x1 := x1 - fx(x1) / dfx(x1); // последующие приближения
  end;
  Result := x1;
end;

// Вызов
solve(fx, dfx,4));

C++

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define eps 0.000001
double fx(double x) { return x * x - 17;} // вычисляемая функция
double dfx(double x) { return 2 * x;} // производная функции

typedef double(*function)(double x); // задание типа function

double solve(function fx, function dfx, double x0) {
  double x1  = x0 - fx(x0) / dfx(x0); // первое приближение
  while (fabs(x1 - x0) > eps) { // пока не достигнута точность 0.000001
    x0 = x1;
    x1 = x0 - fx(x0) / dfx(x0); // последующие приближения
  }
  return x1;
}

int main () {
  printf("%f\n", solve(fx, dfx, 4)); // вывод на экран
  return 0;
}

C

typedef double (*function)(double x);

double TangentsMethod(function f, function df, double xn, double eps) {
   double x1  = xn - f(xn)/df(xn);
   double x0 = xn;
   while(abs(x0-x1) > eps) {
      x0 = x1;
      x1 = x1 - f(x1)/df(x1);
   }
   return x1;
}

//Выбор начального приближения
xn = MyFunction(A)*My2Derivative(A) > 0 ? B : A;

double MyFunction(double x) { return (pow(x, 5) - x - 0.2); } //Ваша функция
double MyDerivative(double x) { return (5*pow(x, 4) - 1); } //Первая производная
double My2Derivative(double x) { return (20*pow(x, 3)); } //Вторая производная

//Пример вызова функции
double x = TangentsMethod(MyFunction, MyDerivative, xn, 0.1)

Haskell

import Data.List ( iterate' )

main :: IO ()
main = print $ solve (\ x -> x * x - 17) ( * 2) 4

-- Функция solve универсальна для всех вещественных типов значения которых можно сравнивать.
solve = esolve 0.000001

esolve epsilon func deriv x0 = fst . head $ dropWhile pred pairs
  where
    pred (xn, xn1) = (abs $ xn - xn1) > epsilon -- Функция pred определяет достигнута ли необходимая точность.
    next xn = xn - func xn / deriv xn -- Функция next вычисляет новое приближение.
    iters   = iterate' next x0        -- Бесконечный список итераций.
    pairs   = zip iters (tail iters)  -- Бесконечный список пар итераций вида: [(x0, x1), (x1, x2) ..].

Fortran

!   Main program
    REAL*8:: Xbeg, F, D1F, error  ! Имена переменных в главной программе и подпрограмме могут отличаться    
    INTEGER  Niter, Ncalc         ! Xbeg - начальное значение, F - функция, D1F - её производная, error - остаточная ошибка
        ***                       ! Niter - заданное число итераций, Ncalc - число выполненных итераций до достижения погрешности
    CALL NEWTON(Xbeg, Niter, F, D1F, Ncalc, error)
        ***
C======================================================
    SUBROUTINE NEWTON(X0, Nmax, Func, D1Func, Nevl, rer) ! Простейший вариант устойчиво работающей программы для нахождения корня  без второй производной                                                               

	REAL*8:: X0, X1, XB, q, Func, D1Func, rer, eps       ! Итог вычисления будет записан в переменную Х0
	INTEGER  Nmax, Nevl
	
	IF(Nmax*(1000-Nmax).LE.0) Nmax=1000                 ! Защита от дурака
	                Nevl=1; XB=X0
	DO I=1, Nmax
	IF(Func(X0).EQ.0.)            EXIT
    IF(D1Func(X0).EQ.0.)          THEN
    Print *, 'Error from NEWTON: D1Func=', D1Func(X0), '  X=', X0, '  I=', I
                                  EXIT
    END IF                   
		
	X1=X0-Func(X0)/D1Func(X0) 
	
	q=abs(D1Func(X0));  q=abs(1.-q)/q
	eps=MAX(rer, epsilon(X0))                           ! epsilon(X0) - машинная точность; выбирается, если rer=0.
	IF(abs(X0-X1).LE.q*eps)       EXIT
	
	X0=X1
	END DO
    
    IF(abs(Func(X0)).GE.abs(Func(XB))) PAUSE 'Error from NEWTON: Change the X0!'

	If(I.ne.Nmax+1) Nevl=I
	If(I.eq.Nmax+1) Nevl=Nmax
	
	END SUBROUTINE