Interested Article - Особая точка (дифференциальные уравнения)

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

,

где — точка на плоскости, матрица . Очевидно, точка в случае невырожденной матрицы является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений Собственные значения
на комплексной плоскости
Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые Центр окружности , эллипсы
Комплексные с отрицательной действительной частью Устойчивый фокус Логарифмические спирали
Комплексные с положительной действительной частью Неустойчивый фокус Логарифмические спирали
Действительные отрицательные Устойчивый узел параболы
Действительные положительные Неустойчивый узел параболы
Действительные разных знаков Седло гиперболы

См. также

Источник —

Same as Особая точка (дифференциальные уравнения)