Гео́рг Фри́дрих Бе́рнхард Ри́ман (иногда Бернгард , нем. Georg Friedrich Bernhard Riemann ; 17 сентября 1826 года , Брезеленц , Ганновер — 20 июля 1866 года , Селаска , Италия , близ Лаго-Маджоре ) — немецкий математик , механик и физик .

Член Берлинской (с 1859 года), Парижской академии наук и Лондонского королевского общества (с 1860 года). За свою короткую жизнь (всего десять лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики, в том числе математический анализ , комплексный анализ , дифференциальную геометрию , математическую физику и арифметику , внёс вклад в создание топологии . «Мы склонны видеть в Римане, может быть, величайшего математика середины XIX века, непосредственного преемника Гаусса », — отмечал академик П. С. Александров .

Биография

Риман был старшим сыном бедного пастора , вторым из шести его детей. Смог начать посещать школу лишь в 14 лет (1840). Мать Римана, Шарлотта Эбелль, умерла от туберкулёза, когда он ещё учился в школе; от этой же болезни умерли две его сестры и, впоследствии, умрёт он сам. Риман всю жизнь был очень привязан к своей семье .

Наклонности к математике проявлялись у молодого Римана ещё в детстве, но, уступая желанию отца, в 1846 году он поступил в Гёттингенский университет для изучения филологии, философии и богословия. Однако, увлечённый лекциями Гаусса , юноша принял окончательное решение стать математиком .

В 1847 году Риман перешёл в Берлинский университет , где преподавали Дирихле , Якоби и Штейнер . В 1849 году он вернулся в Гёттинген , где познакомился с Вильгельмом Вебером , который стал его учителем и близким другом; годом позже приобрёл ещё одного друга — Рихарда Дедекинда .

В 1851 году Риман защитил диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной», его научным руководителем был Гаусс, высоко ценивший талант своего ученика. В диссертации впервые было введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность . В 1854—1866 годах Риман работал в Гёттингенском университете .

Чтобы претендовать на должность экстраординарного профессора , Риман по уставу должен был выступить перед профессорским составом. Осенью 1853 года Риман прочитал в присутствии Гаусса исторический доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», с которого ведёт своё начало риманова геометрия . Доклад, впрочем, не помог — Римана не утвердили. Однако текст выступления был опубликован (хотя и с большим опозданием — в 1868 году), и это стало эпохальным событием для геометрии. Всё же Риман был принят приват-доцентом Гёттингенского университета, где читает курс абелевых функций.

В 1857 году Риман опубликовал классические труды по теории абелевых функций и аналитической теории дифференциальных уравнений и был переведён на должность экстраординарного профессора Гёттингенского университета.

С 1859 года, после смерти Дирихле, Риман — ординарный профессор математики Гёттингенского университета, читает заодно лекции по математической физике (изданы посмертно его учениками). Вместе с Дедекиндом он совершил поездку в Берлинский университет , где общался с Вейерштрассом , Куммером , Кронекером . После чтения там знаменитой работы «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины» Риман по рекомендации Вейерштрасса избран членом Берлинской академии наук (1859). Эта работа исследовала распределение простых чисел и свойства ζ-функции ( функции Римана ). В следующем 1860 году Риман был избран членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества .

В 1862 году Риман женился на Эльзе Кох, подруге покойной сестры. У них родилась дочь Ида. Вскоре после женитьбы Риман простудился и серьёзно заболел. Надеясь укрепить здоровье, Риман с женой в декабре 1862 года уехали в Италию (вначале на год с возвратом в Гёттинген, затем ещё на два года). В 1866 году Риман скончался в Италии от туберкулёза в возрасте неполных 40 лет.

Посмертный сборник трудов Римана, подготовленный Дедекиндом, содержал всего один том. Могила Римана в Италии была заброшена и позже уничтожена при перепланировке кладбища, но надгробная плита уцелела и в наши дни установлена у стены кладбища.

Научная деятельность

Исследования Римана относятся к теории функций комплексного переменного , геометрии , математической и теоретической физике , теории дифференциальных уравнений , теории чисел .

Работы по математике

В знаменитом докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» ( нем. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ) Риман определил общее понятие n -мерного многообразия и его метрики в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы , называемой сейчас римановой метрикой . Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом был впервые введён тензор кривизны и другие фундаментальные понятия римановой геометрии . Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности . Альберт Эйнштейн писал: «Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии » .

Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трёхмерной евклидовой :

Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений, — понятия твёрдого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.

В другом месте этой же работы Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также и «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах . Глубокие мысли, содержащиеся в выступлении Римана, ещё долго стимулировали развитие науки.

Риман является создателем геометрического направления теории аналитических функций . Он разработал теорию конформных отображений и общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них носящие его имя римановы поверхности , на которых эти функции однозначны. Он использовал не только аналитические, но и топологические методы; позднее его труды продолжил Анри Пуанкаре , завершив создание топологии .

Труд Римана «Теория абелевых функций» был важным шагом в бурном развитии этого раздела анализа в XIX веке. Риман ввёл понятие рода , классифицировал их по этому параметру и вывел топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек ветвления функции.

Вслед за Коши Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана , ставший стандартом в классическом анализе. Развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье .

В аналитической теории чисел большой резонанс имело исследование Риманом распределения простых чисел . Он дал интегральное представление дзета-функции Римана , исследовал её полюса и нули, выдвинул гипотезу Римана . Вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел через интегральный логарифм .

Работы по механике

Исследования Римана в области механики относятся к изучению динамики течений сжимаемой жидкости ( газа ) — в частности, сверхзвуковых. Наряду с К. Доплером , Э. Махом , У. Дж. Ранкином и П.-А. Гюгонио Риман стал одним из основоположников классической газовой динамики .

Риманом был предложен метод аналитического решения нелинейного уравнения, описывающего одномерное движение сжимаемой жидкости ; позже геометрическая разработка данного метода привела к созданию метода характеристик (сам Риман термина «характеристика» и соответствующих геометрических образов не использовал) . Фактически им был создан общий метод для расчёта течений газов в предположении, что данные течения зависят только от двух независимых переменных .

В 1860 году Риман нашёл точное общее решение нелинейных уравнений одномерного течения сжимаемого газа (при условии его баротропности ); оно представляет собой бегущую плоскую волну конечной амплитуды ( простую волну ), профиль которой — в отличие от случая волн малой амплитуды — меняет со временем свою форму .

Исследуя задачу о распространении малых возмущений при одномерном движении баротропной жидкости, Риман предложил выполнить в уравнениях движения замену зависимых переменных: перейти от переменных ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle v}$ (давление и скорость) к новым переменным

${\displaystyle J_{1}=v+\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho c}},}$

${\displaystyle J_{2}=v-\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho c}}}$

(получивших название инвариантов Римана ), в которых уравнения движения принимают особенно простой вид (здесь ${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости, ${\displaystyle c}$ — скорость звука) .

Именно Риману механика обязана понятием об ударных волнах . Явление образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически — в ходе проводившегося Риманом изучения решений уравнений движения газа (среди которых, как выяснилось, имеются решения с подвижными поверхностями сильного разрыва ) .

Риман сделал и первую попытку получить условия на поверхности разрыва (то есть соотношения, связывающие скачки физических величин при переходе через данную поверхность). Однако в этом он не преуспел (поскольку фактически исходил из законов сохранения массы, импульса и энтропии , а следовало исходить из законов сохранения массы, импульса и энергии ) ; правильные соотношения в случае одномерного движения газа были получены Ранкином (1870) и Гюгонио (1887) .

Список терминов, связанных с именем Римана

Память

В 1964 году Международный астрономический союз присвоил имя Римана кратеру на видимой стороне Луны . В честь Бернхарда Римана 19 октября 1994 года названа малая планета , открытая 2 октября 1978 года Л. В. Журавлёвой в Крымской астрофизической обсерватории .

Труды на русском языке

• Риман Б. М.-Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
  • ЧАСТЬ I. Работы Римана по анализу, теории функций и теории чисел (47).
    • I. Основы общей теории функций одной комплексной переменной (49).
    • II. Теория абелевых функций (88).
    • III. Об обращении в нуль 0-функций (139).
    • IV. О сходимости бесконечных 0-рядов p-й кратности (151).
    • V. Доказательство теоремы о том, что однозначная функция n переменных не может иметь более 2n периодов (155).
    • VI. Новые результаты из теории функций, представимых гауссовым рядом F(a, b, y, x) (159).
    • VII. Две теоремы общего характера, касающиеся линейных дифференциальных уравнений с алгебраическими коэффициентами (176).
    • VIII. О разложении отношения двух гипергеометрических рядов в бесконечную непрерывную дробь (187).
    • IX. Об интегралах линейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности точки ветвления (194).
    • X. Из лекций по гипергеометрическому ряду (196).
    • XI. О числе простых чисел, не превышающих данной величины (216).
    • XII. О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда (225).
    • XIII. Опыт обобщения действия интегрирования и дифференцирования (262).
  • ЧАСТЬ II. Работы Римана по геометрии, механике и математической физике (277).
    • XIV. О гипотезах, лежащих в основании геометрии (279).
    • XV. Фрагменты, относящиеся к Analysis situs (294).
    • XVI. О поверхности, имеющей при заданной границе наименьшую площадь (297).
    • XVII. Примеры поверхностей наименьшей площади при заданной границе (330).
    • XVIII. О движении жидкого однородного эллипсоида (339).
    • XIX. О потенциале тора (367).
    • XX. Извлечение из письма профессору Энрико Бетти (378).
    • XXI. О распространении плоских волн конечной амплитуды (376).
    • XXII. Распространение тепла в эллипсоиде (396).
    • XXIII. Математическое сочинение, в котором содержится попытка дать ответ на вопрос, предложенный знаменитейшей Парижской Академией, и т. д. (399).
    • XXIV. Равновесие электричества на круговых цилиндрах с параллельными осями. Конформное отображение фигур, ограниченных кругами (414).
    • XXV. К теории цветных колец Нобили (418).
    • XXVI. О законах распределения статического электричества в материальных телах и т. д. (425).
    • XXVII. Новая теория остаточного заряда в аппаратах, служащих для накопления электричества (431).
    • XXVIII. По поводу электродинамики (443).
    • XXIX. О механизме уха (449).
    • XXX. Фрагменты философского содержания (461).

Документальные фильмы

В фильме «BBC. Музыка простых чисел» рассказывается о гипотезе Римана.

Примечания

Литература

• Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка , 1983. — 639 с.
• Дербишир Дж. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
• Математика XIX века / Под ред. А. Н. Колмогорова , А. П. Юшкевича . — М. : Наука , 1978—1987.
  • Том 1 (недоступная ссылка)
  • Том 2 (недоступная ссылка)
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Гидродинамика. 3-е изд. — М. : Наука , 1986. — 736 с. — (Теоретическая физика. Т. VI).
• Монастырский М. И. Бернхард Риман. Топология. Физика. — М. : Янус-К, 1999. — 188 с. — ISBN 5-8037-0025-8 .
• Пиньейро Г. Э. Математика переходит границы. Риман. Дифференциальная геометрия // Наука. Величайшие теории. — М. : Де Агостини, 2015. — Вып. 41 . — ISSN .
• Тюлина И. А. История и методология механики. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
• Truesdell C. History of Classical Mechanics. Part II, the 19th and 20th Centuries // Die Naturwissenschaften , 63 , 3. — 1976. — P. 119—130.