Тео́рия разме́рности — часть общей топологии , в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если ${\displaystyle X}$ есть полиэдр (в частности, многообразие ) размерность ${\displaystyle X}$ совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.

Типы размерностей

• Индуктивная размерность — большая и малая индуктивные размерности ${\displaystyle \left(\operatorname {Ind} \right.}$ и ${\displaystyle \left.\operatorname {ind} \right)}$
• Размерность Лебега ${\displaystyle \left(\operatorname {dim} \right)}$

История

Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности ${\displaystyle \operatorname {Ind} }$ ) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре . В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность ${\displaystyle \operatorname {ind} }$ ). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега .

Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств . Это определение дал Хаусдорф в 1919 году .

Определение по Урысону

Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей .

Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность ${\displaystyle n}$ , если оно не является ${\displaystyle n-1}$ , но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна .

Точку ${\displaystyle a}$ множества ${\displaystyle X}$ отделяет от точки ${\displaystyle b}$ множество ${\displaystyle A}$ если в фигуре ${\displaystyle X}$ не существует связного множества, которое содержит точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и не пересекается с ${\displaystyle A}$ .

Топологическая фигура размерности ${\displaystyle n}$ определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности ${\displaystyle n-1}$ и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей ${\displaystyle n-1}$ .

Примечания

Литература

• Гуревич В. , Волмэн Г. Теория размерности. — ИЛ, 1948.
• Болтянский В.Г. , Ефремович В.А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.
• Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. — М. : Наука, 1969. — 159 с.