Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа пространства Минковского , совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов ${\displaystyle x=x^{\mu }=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}}$ вида ${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }}$ , где ${\displaystyle \Lambda }$ — преобразование из группы Лоренца , ${\displaystyle a^{\mu }}$ — 4-вектор смещения (трансляции) . Элемент группы Пуанкаре обычно записывается как ${\displaystyle \{a,\Lambda \}}$ , а закон композиции имеет вид

${\displaystyle \{a_{1},\Lambda _{1}\}\{a_{2},\Lambda _{2}\}=\{a_{1}+\Lambda _{1}a_{2},\Lambda _{1}\Lambda _{2}\}.}$

Группа Пуанкаре относится к классу линейных неоднородных групп , обозначается как ${\displaystyle P}$ или ${\displaystyle IO(1,3)}$ и играет важную роль в специальной теории относительности , являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• законов релятивистской кинематики ,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма ,
• уравнения Дирака в теории электрона

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца . Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы .

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре . Как и группа Лоренца, группа ${\displaystyle P}$ имеет четыре компоненты связности , различаемые значениями ${\displaystyle \det \Lambda }$ и знаком ${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}}$ . Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли . Наиболее важной является компонента ${\displaystyle P}$ , у которой ${\displaystyle \det \Lambda =1}$ , ${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}>0}$ , содержащая тождественное преобразование .

Группа ${\displaystyle P}$ — 10-параметрическая: к шести генераторам ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.

Примечания