В математике , теорема двойственности Пуанкаре , названная в честь французского математика Анри Пуанкаре , является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия . Она утверждает, что все k -е группы когомологий n -мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны ( n − k )-м группам гомологий M :

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).}$

История

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти : k -е и ( n − k )-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n -мерного многообразия равны:

${\displaystyle b_{k}(M)=b_{n-k}(M).}$

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций .

Современная формулировка

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n -мерное многообразие, k — целое число , то существует канонический изоморфизм k -й группы когомологий ${\displaystyle H^{k}(M)}$ в ( n − k )-ю группу гомологий ${\displaystyle H_{n-k}(M)}$ :

${\displaystyle D:H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$ .

Этот изоморфизм определяется фундаментальным классом многообразия ${\displaystyle [M]}$ :

${\displaystyle D(\alpha )=[M]\frown \alpha }$ ,

где ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ — коцикл , ${\displaystyle \frown }$ обозначает ${\displaystyle \frown }$ -умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем .

Для ${\displaystyle k<0}$ группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при ${\displaystyle k>n}$ на n -мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через ${\displaystyle \tau H_{k}(M)}$ кручение группы ${\displaystyle H_{k}(M)}$ , и ${\displaystyle fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)}$ её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения :

${\displaystyle fH_{k}(M)\otimes fH_{n-k}(M)\to \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle \tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

(Здесь ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения , вторая — коэффициентом зацепления . Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп ${\displaystyle H_{k}(M)}$ и ${\displaystyle H_{n-k}(M)}$ , коэффициент зацепления — между кручениями групп ${\displaystyle H_{k}(M)}$ и ${\displaystyle H_{n-k-1}(M)}$ .

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

${\displaystyle fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-k}(M),\mathbb {Z} )}$

и

${\displaystyle \tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре ${\displaystyle H_{k}(M)\simeq H^{n-k}(M)}$ и теоремы об универсальных коэффициентах , которые дают равенства ${\displaystyle fH^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-k}(M);\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle \tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-k-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$ . Таким образом, группы ${\displaystyle fH_{k}(M)\simeq fH_{n-k}(M)}$ являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, ${\displaystyle \tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)}$ .

Ссылки

1. Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs , Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285-343
2. Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs , Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277-308

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии . — М. : Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М. : Наука, 1989