Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой

${\displaystyle ds^{2}={\frac {|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов .

Свойства

Метрика Пуанкаре инвариантна относительно автоморфизмов римановой поверхности, и (как утверждает теорема Шварца-Пика ) не увеличивается произвольным .

Литература

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 30-36. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4 .