Непредикати́вность определения в математике и логике , нестрого говоря, означает, что осмысленность определения предполагает наличие определяемого объекта . Пример: объект ${\displaystyle x}$ определяется как такой элемент некоторого множества, который удовлетворяет определённому отношению между ним и всеми элементами этого множества (включая и само ${\displaystyle x}$ ) . В некоторых случаях непредикативное определение может привести к недоразумениям или даже противоречиям. Противоположное по смыслу понятие — предикативность .

Для определений на формальном языке «Математическая энциклопедия» приводит более строгий вариант:

Свойство (точнее, языковое выражение, выражающее это свойство) называется непредикативным , если оно содержит связанную переменную, в область изменения которой попадает определяемый объект. Свойство называется предикативным , если оно не содержит таких связанных переменных.

Не существует общепризнанного чёткого определения непредикативности, различные источники дают сходные, но разные определения. Например, встречается такое: определение объекта X непредикативно, если оно либо ссылается на само X, либо (чаще всего) на множество ${\displaystyle M}$ , содержащее X; при этом ${\displaystyle M}$ представляется законченным, хотя данное определение может повлиять на его состав .

Примеры

Наиболее известный пример непредикативного построения — парадокс Рассела , в котором определяется совокупность всех множеств, не содержащих самих себя. Парадокс заключается в том, что так определённое множество внутренне противоречиво — оно одновременно и содержит себя, и не содержит. Наглядный исторический вариант этого парадокса — « парадокс брадобрея »: определение «житель деревни, который бреет тех жителей этой деревни, которые не бреются сами», является непредикативным, так как определяет жителя деревни, используя его отношения со всеми жителями деревни (а, значит, и с ним самим) . Непредикативность обнаруживается и в других парадоксах теории множеств .

К непредикативным формулировкам часто относят и парадокс всемогущества : «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?» Здесь используется понятие «всемогущество», определение которого внутренне противоречиво . Аналогично устроен « парадокс лжеца », в котором утверждение отрицает само себя.

В математике существует, однако, немалое количество часто используемых непредикативных определений, не создающих проблем и не имеющих простого предикативного варианта. В классическом анализе, например, таково определение точной нижней грани числового множества :

Точной (наибольшей) нижней гранью подмножества ${\displaystyle X}$ упорядоченного множества ${\displaystyle M}$ называется наибольший элемент ${\displaystyle M}$ , который не превосходит всех элементов множества ${\displaystyle X.}$

Другой пример общепринятого и вполне безопасного непредикативного определения в анализе — определение максимального значения функции на заданном интервале, поскольку определяемое значение зависит от всех прочих, включая самого себя .

Непредикативные конструкции использует доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте : построенная в итоге «неразрешимая формула» утверждает недоказуемость самой себя .

Наконец, в логике и информатике существуют рекурсивные определения и рекурсивные алгоритмы , в которых непредикативность изначально предусмотрена и является их неотъемлемой составной частью.

История

Термины «предикативный» и «непредикативный» были введены в статье Рассела (1907) , хотя смысл термина тогда был несколько иным. Как опасный порочный круг непредикативные определения осудил Анри Пуанкаре (1905—1906, 1908), он считал их главным источником парадоксов теории множеств . Рассел поддержал эту оценку и в своей монографии « Principia Mathematica » принял меры по недопущению непредикативности ( теория типов и «аксиома сводимости») . Герман Вейль в своей книге «Das Kontinuum» изложил философскую позицию, которую часто называют «предикативизм» .

Эрнст Цермело в 1908 году выступил с возражениями против чрезмерно радикального подхода и привёл два примера вполне безобидных непредикативных определений, часто используемых в анализе. Герман Вейль попытался найти предикативный аналог определения наименьшей верхней грани, но успеха не добился. С тех пор никому так и не удалось построить анализ в полном объёме на строго предикативной основе .

Примечания

Литература

• Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
• Гришин В. Н. Непредикативное определение // . — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 3.
• Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М. : Мир, 1984. — 446 с.
• Непредикативное определение // Философский энциклопедический словарь. — М. : Советская энциклопедия, 1983. — 840 с.
• Френкель Α.- Α., Баρ-Xиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.
• Чёрч Α. Введение в математическую логику. М., 1960.