Пропагатор ( функция распространения , причинная функция Грина ) в квантовой механике и квантовой теории поля (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля (или его кванта) от одного акта взаимодействия до другого . Эта функция определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места пространства (или пространства-времени) в другое за заданный промежуток времени или перемещения частицы с определённой энергией и импульсом. Для расчёта частоты столкновений в КТП используются виртуальные частицы , представленные в диаграммах Фейнмана пропагаторами, вносят свой вклад в вероятность рассеяния , описываемого соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как оператор, обратный волновому оператору , соответствующему частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина (термин « причинными » используется, чтобы отличить их от эллиптической функции Грина для оператора Лапласа) .

Нерелятивистские пропагаторы

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор определяет амплитуду вероятности того, что частица переместится из одной пространственной точки (x'), в которой она находится в момент времени (t'), в другую пространственную точку (x) в более поздний момент времени (t).

Если квантовая система описывается гамильтонианом H , то функция Грина ( фундаментальное решение ) для уравнения Шрёдингера представляет собой функцию

${\displaystyle G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')}$

удовлетворяющую неоднородному уравнению

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')\,,}$

где H _x обозначает гамильтониан, записанный в координатном представлении x , δ ( x ) — дельта-функция Дирака , Θ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда , K ( x , t ; x′ , t′ ) — ядро приведённого выше дифференциального оператора Шрёдингера в больших скобках, а также функция распространения . Термин пропагатор иногда используется в этом контексте для обозначения G , а иногда и K . В этой статье этот термин будет использоваться для обозначения K (см. принцип Дюамеля ).

Этот пропагатор также можно записать как амплитуду перехода

${\displaystyle K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}{\hat {U}}(t,t'){\big |}x'{\big \rangle }\,,}$

где Û ( t , t′ ) — унитарный оператор эволюции во времени для системы, переводящей состояния в момент времени t′ в состояния в момент времени t . Обратите внимание на начальное условие, налагаемое на функцию распространения ${\displaystyle \lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')}$ .

Квантово-механический пропагатор также можно определить с помощью интеграла по траекториям:

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)]\,,}$

где граничные условия для интеграла включают условия q ( t ) = x , q ( t′ ) = x′ . Здесь L — лагранжиан системы. Вклады по всем возможным траекториям, которые суммируются, соответствуют движению частицы только вперёд во времени и интегрируются с дифференциалом ${\displaystyle D[q(t)]}$ .

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор позволяет найти волновую функцию системы, учитывая начальную волновую функцию и временной интервал. Новая волновая функция вычисляется как

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'\,.}$

Если K ( x , t ; x ′, t ′) зависит только от разности x − x′ , это свёртка исходной волновой функции и функции распространения.

Основные примеры: пропагатор свободной частицы и гармонического осциллятора

Для трансляционно-инвариантной системы пропагатор зависит только от разницы времён t − t ′ , поэтому его записывают как

${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t')\,.}$

Пропагатор свободной частицы в одном измерении, получаемый, например, из интеграла по траекториям равен

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}\,.}$

Точно так же пропагатор для одномерного квантового гармонического осциллятора задаётся ,

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)\,.}$

Последнее можно получить из предыдущего результата для свободных частиц, используя тождество ван Кортрика для группы Ли SU(1,1) ,

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)}$

${\displaystyle =\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),}$

которое выполняется для операторов ${\displaystyle {\mathsf {x}}}$ и ${\displaystyle {\mathsf {p}}}$ , удовлетворяющих соотношению Гейзенберга ${\displaystyle [{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar }$ .

Для N -мерного случая пропагатор можно получить из произведения

${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t)\,.}$

Релятивистские пропагаторы

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля пропагаторы лоренц-инвариантны . Они дают амплитуду вероятности для частицы переместиться между двумя точками пространства-времени .

Скалярный пропагатор

В квантовой теории поля теория свободного (или невзаимодействующего) скалярного поля является полезным и простым примером, служащим для иллюстрации понятий необходимых для более сложных теорий. Оно описывает частицы с нулевым спином . Существует ряд возможных пропагаторов теории свободного скалярного поля. Ниже описываются самые распространённые из них.

Координатное пространство

Пропагаторы в координатном пространстве являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона . Это означает, что они являются функциями G ( x , y ) удовлетворяющими уранвению

${\displaystyle (\square _{x}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)\,,}$

где

x, y — две точки пространства Минковского ,

${\displaystyle \square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$ — оператор д’Аламбера действующий на x -коорлинаты,

δ ( x − y ) — дельта-функция Дирака .

(Как обычно в расчётах релятивистской квантовой теории поля используются единицы, в которых скорость света c и приведённая постоянная Планка ħ установлены равными единице.)

Если ограничиться 4-мерным пространством- временем Минковского , то можно выполнить преобразование Фурье уравнения для пропагатора, получив

${\displaystyle (-p^{2}+m^{2})G(p)=-1\,.}$

Это уравнение можно обратить в смысле обобщённых функций , заметив, что уравнение xf ( x ) = 1 имеет решение (см. теорему Сохоцкого — Племеля )

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x)\,,}$

где под ε подразумевает предельный переход к нулю. Правильный выбор знака вытекает из требований причинности.

Решение

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }}\,,}$

где

${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$

является скалярным произведением 4-векторов .

Различные варианты деформации в приведённом выше выражении приводят к различным формам пропагатора. Выбор контура обычно формулируется с точки зрения интеграла по ${\displaystyle p_{0}}$ .

Тогда подынтегральная функция имеет два полюса в точках

${\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},}$

поэтому разные варианты того, как их обходить, приводят к разным пропагаторам.

Причинные пропагаторы

Запаздывающий пропагатор

Контур, проходящий по часовой стрелке через оба полюса, даёт причинный запаздывающий пропагатор . Это ноль, если x-y пространственноподобно или если x ⁰< y ⁰ (то есть если y относится к будущему моменту времени по отношении к x ).

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x-y)}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x-y)\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}\,,}$

где

${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

— ступенчатая функция Хевисайда и

${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$

— собственное время от x до y и ${\displaystyle J_{1}}$ — функция Бесселя первого рода . Выражение ${\displaystyle y\prec x}$ означает, что y x , что для пространства-времени Минковского означает

${\displaystyle y^{0}<x^{0}}$ и ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0\,.}$

Это выражение можо связать с вакуумным средним значением коммутатора оператора свободного скалярного поля,

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})\,,}$

где

${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}$

— коммутатор .

Опережающий пропагатор

Контур, идущий против часовой стрелки под обоими полюсами, даёт причинный опережающий пропагатор . Это ноль, если x-y пространственноподобно или если x ⁰> y ⁰ (то есть если y находится в прошлом моменте времени по отношению к x ).

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y-x)}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y-x)\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}\,.}$

Это выражение можно также выразить через вакуумное среднее коммутатора свободного скалярного поля. В таком случае,

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})\,.}$

Пропагатор Фейнмана

Контур, проходящий под левым полюсом и над правым полюсом, даёт пропагатор Фейнмана .

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела

${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&s<0.\end{cases}}}$

Где

${\displaystyle s:=(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}\,,}$

где x и y — две точки в пространстве- времени Минковского , а точка в показателе степени обозначает четырёхвекторное скалярное произведение . H ₁ ⁽¹⁾ — функция Ганкеля, а K ₁ — модифицированная функцией Бесселя .

Это выражение можно получить непосредственно из теории поля как значение вакуумного среднего упорядоченного во времени произведения свободного скалярного поля, то есть произведения, всегда взятого таким, что временной порядок точек пространства-времени одинаков,

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$

Это выражение является лоренц-инвариантным , поскольку операторы поля коммутируют друг с другом, когда точки x и y разделены пространственноподобным интервалом.

Обычный вывод состоит в том, чтобы вставить полный набор одночастичных импульсных состояний между полями с лоренцевской ковариантной нормировкой, а затем показать, что функции Θ , обеспечивающие причинное упорядочение во времени, можно получить с помощью контурного интеграла вдоль оси энергии, если подынтегральная функция такая же, как указано выше (отсюда и бесконечно малая мнимая часть), чтобы сдвинуть полюс с действительной линии.

Пропагатор также можно получить с использованием интеграла по траекториям в квантовой теории поля.

Пропагатор в импульсном пространстве

Преобразование Фурье пропагаторов в координатном пространстве можно рассматривать как пропагаторы в сопряжённом ему . Они имеют гораздо более простую форму, чем пропагаторы в координатном пространстве.

Они часто записываются с явным слагаемым ε , хотя это понимается как напоминание о том, какой выьран контур интегрирования (см. Выше). Этот член ε включён для учёта граничных условий и причинно -следственной связи (см. Ниже).

Для 4-импульса p причинный пропагатор и пропагатор Фейнмана в импульсном пространстве таковы:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}\,,}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}\,,}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}\,.}$

Для расчётов диаграмм Фейнмана обычно удобно записывать их с дополнительным общим коэффициентом −i (условия различаются).

Быстрее света?

Пропагатор Фейнмана обладает некоторыми свойствами, которые на первый взгляд кажутся непонятными. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор отличен от нуля вне светового конуса , хотя и быстро спадает для пространственноподобных интервалов. Интерпретируемое как амплитуда движения частицы, это означает, что виртуальная частица движется быстрее света. Не сразу очевидно, как это можно примирить с причинно-следственной связью: можно ли использовать сверхсветовые виртуальные частицы для отправки сверхсветовых сообщений?

Ответ — нет. Хотя в классической механике интервалы, по которым могут перемещаться частицы и причинные эффекты, совпадают, это не так в квантовой теории поля, где именно коммутаторы определяют, какие операторы могут влиять друг на друга.

Так что же представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В КТП вакуум является активным участником, а и значения полей связаны из принципа неопределенности ; значения поля неопределенны даже для когда частиц нет. Существует ненулевая амплитуда вероятности обнаружить значительную флуктуацию вакуумного значения поля Φ( x ) , если измерить его локально (точнее, если измерить оператор, полученный усреднением поля по малой области). Кроме того, динамика полей имеет тенденцию в некоторой степени способствовать пространственно-коррелированным флуктуациям. Затем ненулевое упорядоченное по времени произведение для разделённых пространственноподобным интервалом полей просто измеряет амплитуду нелокальной корреляции в этих флуктуациях вакуума, аналогичной корреляции ЭПР . Действительно, пропагатор часто называют двухточечной корреляционной функцией для свободного поля .

Поскольку, согласно постулатам квантовой теории поля, все операторы наблюдаемых коммутируют друг с другом на пространственноподобном расстоянии, сообщения можно отправлять через эти корреляции не больше, чем через любые другие ЭПР-корреляции; корреляции находятся в случайных величинах.

Что касается виртуальных частиц, то пропагатор при пространственно-подобном разделении можно рассматривать как средство вычисления амплитуды для создания виртуальной пары частица- античастица , которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальной пары, выходящей из вакуума. На языке Фейнмана такие процессы рождения и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, блуждающей вперёд и обратно по времени, что может вывести её за пределы светового конуса. Однако передача сигналов назад во времени запрещена.

Объяснение с использованием пределов

Это можно объяснит иначе, записав пропагатор в следующей форме для безмассового фотона:

${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}\,.}$

Это обычное определение, но нормированное коэффициентом ${\displaystyle \varepsilon }$ . Тогда правило состоит в том, что берётся предел ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ в конце расчёта.

Видно, что

${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}}$ если ${\displaystyle (x-y)^{2}=0}$

и

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0}$ если ${\displaystyle (x-y)^{2}\neq 0\,.}$

Следовательно, это означает, что один фотон всегда будет оставаться на световом конусе. Также показано, что полная вероятность фотона в любой момент времени должна быть нормирована обратной величиной следующего множителя:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$

Отсбда следует, что части вне светового конуса обычно равны нулю в пределе и важны только в диаграммах Фейнмана.

Пропагаторы в диаграммах Фейнмана

Чаще всего пропагатор используется для расчета амплитуд вероятности взаимодействия частиц с использованием диаграмм Фейнмана . Эти расчёты обычно выполняются в импульсном пространстве. В общем, амплитуда получает коэффициент пропагатора для каждой внутренней линии , то есть для каждой линии, которая не представляет входящую или выходящую частицу в начальном или конечном состоянии. Он также получит коэффициент, пропорциональный и аналогичный по форме члену взаимодействия в лагранжиане теории для каждой внутренней вершины, где встречаются линии. Эти правила известны как правила Фейнмана .

Внутренние линии соответствуют виртуальным частицам. Поскольку пропагатор не обращается в нуль для комбинаций энергии и импульса, не допускаемых классическими уравнениями движения, то говорят, что виртуальные частицы могут находиться . На самом деле, поскольку пропагатор получается обращением волнового уравнения, он в общем случае будет иметь разрывы на оболочке.

Энергия, переносимая частицей в пропагаторе, может быть даже отрицательной . Это можно интерпретировать просто как случай, когда вместо частицы, движущейся в одном направлении, её античастица движется в другом направлении и, следовательно, несёт встречный поток положительной энергии. Пропагатор охватывает обе возможности. Это означает, что нужно быть осторожным со знаками минус для случая фермионов , чьи пропагаторы не являются чётными функциями энергии и импульса (см. ниже).

Виртуальные частицы сохраняют энергию и импульс. Однако, поскольку они могут быть вне оболочки, везде, где диаграмма содержит замкнутую петлю , энергии и импульсы виртуальных частиц, участвующих в петле, будут частично неограниченными, поскольку изменение величины для одной частицы в петле может быть уравновешено равным и противоположным изменением в другом. Следовательно, каждая петля на диаграмме Фейнмана требует интеграла по континууму возможных значений энергий и импульсов. В общем, эти интегралы произведений пропагаторов могут расходиться, и эту проблему должен разрешать процесс перенормировки .

Другие теории

Спин 1 ⁄ 2

Если частица обладает спином , то её пропагатор, как правило, несколько сложнее, так как он будет включать спин частицы или индексы поляризации. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет пропагатор для частицы со спином 1 ⁄ 2 определяется выражением

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x)\,,}$

где I ₄ — единичная матрица в четырёх измерениях, использующая слэш обозначение Фейнмана . Это уравнение Дирака для источника дельта-функции в пространстве-времени. Используя импульсное представление,

${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p)\,,}$

уравнение становится

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

где в правой части используется интегральное представление четырёхмерной дельта-функции. Таким образом

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}\,.}$

Умножая слева на

${\displaystyle (\not p+m)}$

(отбрасывая единичные матрицы из обозначений) и используя свойства гамма-матриц ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\frac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$

обнаружено, что пропагатор в импульсном пространстве, используемый в диаграммах Фейнмана для поля Дирака , представляющего электрон в квантовой электродинамике , имеет вид

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}\,.}$

iε внизу — это рецепт того, как обращаться с полюсами в комплексной p ₀ -плоскости. Это автоматически даёт путём соответствующего смещения полюсов. Иногда это пишется

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

короче. Следует помнить, что это выражение является просто сокращенным обозначением ( γ _μ p ^μ − m ) ⁻¹ . «Единица на матрицу» в остальном бессмысленен. В координатном пространстве

${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|)\,.}$

Это связано с пропагатором Фейнмана соотношением

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

где ${\displaystyle \not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\,.}$

Спин 1

Пропагатор калибровочного бозона в калибровочной теории зависит от выбора соглашения для выбора калибровки. Для калибровки, используемой Фейнманом и Штюкельбергом , пропагатор фотона равен

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }\,.}$

Общий вид с калибровочным параметром λ с точностью до общего знака и множителя ${\displaystyle i}$ , записывается как

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}\,.}$

Пропагатор для массивного векторного поля можно получить из лагранжиана Штюкельберга. Общий вид с калибровочным параметром λ с точностью до общего знака и множителем ${\displaystyle i}$ , записывается

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}\,.}$

С этими общими формами можно получить пропагаторы в унитарной калибровке для λ = 0 , пропагатор в калибровке Фейнмана или 'т Хофта для λ = 1 и в калибровке Ландау или Лоренца для λ = ∞ . Существуют также другие обозначения, в которых калибровочный параметр является обратным λ , обычно обозначаемым ξ (см. R _ξ Gauges ). Однако имя пропагатора относится к его окончательной форме, а не обязательно к значению калибровочного параметра.

Унитарная калибровка:

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}\,.}$

Калибровка Фейнмана ('т Хофта):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}\,.}$

Калибровка Ландау (Лоренца):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}\,.}$

Гравитонный пропагатор

Пропагатор для гравитона в пространстве Минковского в общей теории относительности

${\displaystyle G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}}\,,}$

где ${\displaystyle D}$ — количество измерений пространства-времени, ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}}$ — поперечный и бесследовый оператор проекции спина 2 , а ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{s}^{0}}$ является скалярным мультиплетом со спином 0. Пропагатор гравитона для пространства (анти) де Ситтера равен

${\displaystyle G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}}\,,}$

куда ${\displaystyle H}$ — постоянная Хаббла . Обратите внимание, что при достижении предела ${\displaystyle H\to 0}$ и ${\displaystyle \Box \to -k^{2}}$ , пропагатор AdS сводится к пропагатору Минковского .

Связанные сингулярные функции

Скалярные пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона. Есть связанные сингулярные функции, которые важны в квантовой теории поля . Мы следуем обозначениям Бьоркена и Дрелла . См. также Боголюбов и Ширков (Приложение А) . Эти функции наиболее просто определяются в терминах вакуумного среднего значения произведений операторов поля.

Решения уравнения Клейна — Гордона

Функция Паули — Жордана

Коммутатор двух скалярных полевых операторов определяет функцию Паули — Жордана ${\displaystyle \Delta (x-y)}$ по

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

с

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{adv}}(x-y)-G_{\text{ret}}(x-y)\,.}$

Это удовлетворяет

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

и равен нулю, если ${\displaystyle (x-y)^{2}<0\,.}$

Положительная и отрицательная частотные части (вырезанные пропагаторы)

Мы можем определить положительную и отрицательную частотные части ${\displaystyle \Delta (x-y)}$ , иногда называемые разрезанными пропагаторами, релятивистски инвариантным образом.

Это позволяет нам определить положительную частотную часть:

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle \,,}$

и отрицательную частотную часть:

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle \,.}$

Они удовлетворяют

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

и

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0\,.}$

Вспомогательная функция

Антикоммутатор двух скалярных полевых операторов определяет ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$ функция

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

с

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y)\,.}$

Это удовлетворяет ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x)\,.}$

Функции Грина для уравнения Клейна — Гордона.

Определённые выше запаздывающие, опережающие и фейнмановские пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона.

Они связаны с сингулярными функциями соотношением

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (x_{0}-y_{0})}$

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (y_{0}-x_{0})}$

${\displaystyle 2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x_{0}-y_{0})\,\Delta (x-y)}$

где ${\displaystyle \varepsilon (x_{0}-y_{0})}$ является знаком ${\displaystyle x_{0}-y_{0}\,.}$

Примеры

Пропагатор свободной частицы в одном измерении:

${\displaystyle D(x,x';t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}\right)\,.}$

Пропагатор одномерного гармонического осциллятора :

${\displaystyle D(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)\,.}$

Электронный пропагатор является основной величиной, характеризующей взаимодействие электрона и фотона. Его величина в импульсном представлении

${\displaystyle G(p)={\frac {\gamma {p}+m}{p^{2}-m^{2}+i0}}.}$

Фотонный пропагатор является основной величиной, характеризующей взаимодействие двух электронов. Его величина в импульсном представлении

${\displaystyle D(k^{2})={\frac {4\pi }{k^{2}+i0}}.}$

Примечания

Литература

• Bjorken, J. / J. Bjorken, S. Drell . — New York : McGraw-Hill , 1965. — ISBN 0-07-005494-0 . (Appendix C.)
• Introduction to the theory of quantized fields / N. Bogoliubov, . — , 1959. — ISBN 0-470-08613-0 . (Especially pp. 136—156 and Appendix A)
• Relativity, Groups and Topology. — Glasgow : . — ISBN 0-444-86858-5 . (section Dynamical Theory of Groups & Fields, Especially pp. 615—624)
• Greiner, W. / W. Greiner, J. Reinhardt. — 4th. — Springer Verlag , 2008. — ISBN 9783540875604 .
• Greiner, W. / W. Greiner, J. Reinhardt. — Springer Verlag, 1996. — «walter greiner Classical Mechanics: Point Particles and Relativity.». — ISBN 9783540591795 .
• Griffiths, D. J. . — New York : John Wiley & Sons , 1987. — ISBN 0-471-60386-4 .
• Griffiths, D. J. Introduction to Quantum Mechanics. — Upper Saddle River : Prentice Hall , 2004. — ISBN 0-131-11892-7 .
• Halliwell, J.J.; Orwitz, M. (1993), "Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology", Physical Review D , 48 (2): 748—768, arXiv : , Bibcode : , doi : , PMID , S2CID
• Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals. — New York : John Wiley & Sons, 1998. — ISBN 0-471-14120-8 .
• / C. Itzykson, . — New York : McGraw-Hill, 1980. — ISBN 0-07-032071-3 .
• Pokorski, S. . — Cambridge : Cambridge University Press , 1987. — ISBN 0-521-36846-4 . (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
• Schulman, L. S. Techniques & Applications of Path Integration. — New York : John Wiley & Sons, 1981. — ISBN 0-471-76450-7 .
• Finite Quantum Electrodynamics The Causal Approach. — 2., nd ed. 1995. Softcover reprint of the original 2nd ed. 1995. — Springer Berlin, 2014. — ISBN 9783642633454 . .

Ссылки

• — статья из Физической энциклопедии