Interested Article - Метод регуляризации Тихонова

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году . Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения в виде , где — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении к точному значению при приближённое решение стремилось бы к желаемому точному решению уравнения .

Регуляризирующий оператор

Оператор , зависящий от параметра , называется регуляризующим для уравнения , если он обладает свойствами:

  • Определён для всякого и любого .
  • Если выполняется , то существует такое , что для любого найдётся такое , что если , то , где , , метрика в пространстве (то есть — расстояние между векторами и ), а — метрика в пространстве .

Способ построения регуляризирующих операторов

Для широкого класса уравнений А. Н. Тихонов показал, что решение задачи минимизации функционала можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра . Функционал называется стабилизатором задачи .

Пример применения

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение системы линейных уравнений с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы и столбца в случае, когда значения элементов матрицы и столбца свободных членов заданы лишь приближённо.

Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: . Назовем сферическими нормами величины . Обозначим как известные приближённые значения элементов матрицы и столбца . Матрицу и столбец будем называть -приближением матрицы и столбца , если выполняются неравенства . Введём в рассмотрение функционал . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений к отысканию того элемента , на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова

Пусть матрица и столбец удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы , — нормальное решение этой системы, -приближение матрицы , -приближение столбца , и — какие-либо убывающие функции , стремящиеся к нулю при и такие, что . Тогда для любого найдётся положительное число такое, что при любом и при любом , удовлетворяющем условию , элемент , доставляющий минимум функционалу , удовлетворяет неравенству .

Примечания

  1. Тихонов А. Н. // Доклады Академии наук СССР . — 1965. — Т. 163 , № 3 . — С. 591—594 .
  2. , с. 264.
  3. , с. 100.
  4. , с. 119.

Литература

  • Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М. : Физматлит , 2004. — 280 с. — ISBN 5-9221-0481-0 .
  • Тихонов А. Н. , Методы решения некорректных задач. — М. : Наука , 1979. — 283 с.
  • Методы математической физики и специальные функции. — М. : Наука , 1974. — 430 с.
Источник —

Same as Метод регуляризации Тихонова