Северино начал карьеру в пригороде города
Кюснахта
, играя в молодёжном составе одноимённой команды «
». В 19-летнем возрасте Минелли переходит в «
Серветт
».
В 1930 году Минелли возвращается в Цюрих, где выступает за «
Грассхоппер
» на протяжении 13-ти лет. С «Грассхопперсом» Минелли выиграл 5 чемпионатов Швейцарии и 8 Кубков Швейцарии, а также дебютировал в национальной сборной страны. В главной команде Швейцарии Минелли провел 80 матчей, что долгое время было рекордом команды и участвовал в двух
чемпионатах мира
. В 1944 году Минелли перешёл в «
Цюрих
», где и закончил карьеру.
После завершения деятельности футболиста, Минелли работал в Швейцарской футбольной ассоциации, в частности, с 1949 по 1951 состоял в комиссии, отбирающей игроков для национальной команды, а в 1983 году был назван почётным членом ассоциации.