Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел , возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида (например, на простые числа . фигурные числа , ${\displaystyle n-}$ е степени и т. п.).

Среди классических проблем, исследование которых заложило фундамент аддитивной теории чисел, можно назвать следующие .

• Задача о представлении числа суммой четырёх квадратов и её обобщение: теорема Ферма о многоугольных числах .
• Задача о представлении простого числа в виде суммы двух квадратов .
• Проблема Гольдбаха .
• Проблема Варинга .
• Гипотезы Поллока .

Решение этих проблем осложняется тем, что в формулировках одновременно участвуют несколько базовых операций с натуральными числами :

• (мультипликативные) — деление, с помощью которого определяются простые числа, и умножение, формирующее квадраты, кубы и т. д.;
• (аддитивные) — сложение.

Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел чрезвычайно сложна, и эта сложность ответственна за трудности при решении многих проблем теории чисел .

Современная аддитивная теория чисел включает широкий круг задач по исследованию абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения . Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел (особенно с аддитивной комбинаторикой ) и с геометрией чисел , в ней применяются аналитические , алгебраические и вероятностные методы. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитическую теорию чисел , теорию алгебраических чисел , .

История

Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Леонардом Эйлером , который опубликовал в 1748 году исследование (с помощью степенных рядов ) разложения натуральных чисел на натуральные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых и доказана . В этот же период возникли две классические проблемы аддитивного типа: проблема Гольдбаха и проблема Варинга , в дальнейшем появились десятки новых задач.

Для решения многих из этих проблем оказались полезны такие общие инструменты, как , и метод тригонометрических сумм . Гильберт доказал , что для любого целого числа ${\displaystyle k>1}$ любое натуральное число является суммой ограниченного числа слагаемых в степени ${\displaystyle k}$ . Лев Шнирельман в 1930 году ввёл понятие плотности последовательности натуральных чисел, что позволило существенно продвинуться в решении проблемы Гольдбаха и доказать обобщённую теорему Варинга ..

Григорий Фрейман в 1964 году доказал важную из области аддитивной комбинаторики .

Современное состояние

Подмножество ${\displaystyle B}$ называется (асимптотическим) конечного порядка ${\displaystyle h}$ , если любое достаточно большое натуральное число ${\displaystyle n}$ может быть записано как сумма не более ${\displaystyle h}$ элементов ${\displaystyle B}$ . Например, натуральные числа сами являются аддитивным базисом порядка 1, поскольку каждое натуральное число тривиально является суммой не более одного натурального числа. Менее тривиальна теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов , показавшая, что множество квадратных чисел является аддитивным базисом четвёртого порядка. Другой весьма нетривиальный и широко известный результат в этом направлении — теорема Виноградова о том, что любое достаточно большое нечётное натуральное число можно представить как сумму трёх простых чисел .

Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество ${\displaystyle A}$ называется минимальным асимптотическим базисом порядка ${\displaystyle h,}$ если ${\displaystyle A}$ является асимптотическим базисом порядка ${\displaystyle h}$ , но никакое собственное подмножество ${\displaystyle A}$ не является асимптотическим базисом порядка ${\displaystyle h}$ . Доказано , что минимальные асимптотические базисы порядка ${\displaystyle h}$ существуют для всякого ${\displaystyle h}$ , а также существуют асимптотические базисы порядка ${\displaystyle h}$ , не содержащие минимальных асимптотических базисов порядка ${\displaystyle h}$ .

Рассматривается также проблема — насколько можно уменьшить количество представлений ${\displaystyle n}$ в виде суммы ${\displaystyle h}$ элементов асимптотического базиса. Этому посвящена до сих пор не доказанная (1941 год) .

См. также

• Композиция числа
• Разбиение числа

Примечания

Литература

• Аддитивная теория чисел // . — М. : Советская Энциклопедия , 1977. — Т. 1.
• Бухштаб А. А. Проблемы аддитивной теории простых чисел // Теория чисел. — М. : Просвещение, 1966. — 384 с.
• Гельфанд А. О. , Линник Ю. В. Аддитивные свойства чисел // Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М. : Физматгиз, 1962. — 272 с.
• Метод решета // . — М. : Советская Энциклопедия , 1984. — Т. 4.
• Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М. : Наука, 1971. — 416 с.
• Шнирельман Л. Г. // Успехи математических наук . — 1939. — № 6 . — С. 9—25 .
• Henry Mann . Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory. — Corrected reprint of 1965 Wiley. — Huntington, New York : Robert E. Krieger Publishing Company, 1976. — ISBN 0-88275-418-1 .
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. — Springer-Verlag , 1996. — ISBN 0-387-94656-X .
• Nathanson, Melvyn B. . — Springer-Verlag , 1996. — ISBN 0-387-94655-1 .
• Tao, Terence ; Vu, Van . Additive Combinatorics. — Cambridge University Press , 2006. — Vol. 105.

Ссылки

• Бредихин Б. М. , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .