Теория представлений — раздел математики , изучающий абстрактные алгебраические структуры с помощью представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств . В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами , а операции сложения и умножения этих объектов — сложением и умножением матриц. Среди объектов, поддающихся такому описанию, находятся группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Наиболее известной (и исторически возникшей первой) является теория представлений групп .

Теория представлений является мощным инструментом, потому что она сводит задачи общей алгебры к задачам линейной алгебры , предмет которой хорошо понятен. Кроме того, векторное пространство, с помощью которого представлена группа, может быть бесконечномерным, и если добавить к нему структуру гильбертова пространства , можно будет применить методы математического анализа. Теория представлений также имеет важное значение для физики , так как она, например, описывает, как группа симметрий физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Поразительная особенность теории представлений — это её распространённость в математике. Первый аспект этого — разнообразные приложения теории представлений: в дополнение к своему влиянию на алгебру она освещает и значительно обобщает анализ Фурье с помощью гармонического анализа , она тесно связана с геометрией через теорию инвариантов и эрлангенскую программу , оказывает большое влияние на теорию чисел через автоморфные формы и программу Ленглендса . Вторым аспектом является разнообразие подходов к теории представлений. Одни и те же объекты могут быть изучены с помощью методов алгебраической геометрии , теории модулей , аналитической теории чисел , дифференциальной геометрии , теории операторов , алгебраической комбинаторики и топологии .

Успех теории представлений привёл к многочисленным её обобщениям. Одно из наиболее общих использует теорию категорий . Алгебраические объекты, к которым применяется теория представлений, могут быть рассмотрены как объекты определённой категории, а представления — как функторы из данной категории в категорию векторных пространств. Такое описание указывает на два очевидных обобщения: во-первых, алгебраические объекты могут быть заменены на более общие категории; во-вторых, категория векторных пространств может быть заменена другими хорошо понятными категориями.

Определения и концепции

Пусть V — векторное пространство над полем F . Для примера предположим, что V — это R ⁿ или C ⁿ , стандартное n -мерное пространство векторов-столбцов над полем вещественных или комплексных чисел соответственно. В данном случае идея теории представлений заключается в том, чтобы конкретизировать абстрактную алгебру использованием матриц n × n , элементами которых являются вещественные или комплексные числа.

Существует три вида алгебраических объектов, для которых это возможно: группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли.

• Множество всех обратимых матриц n × n является группой по умножению матриц, и теория представлений групп анализирует группу, описывая (представляя) её элементы терминами обратимых матриц.
• Сложение и умножение матриц делает множество всех матриц n × n ассоциативной алгеброй, и, следовательно, есть соответствующая теория представлений ассоциативных алгебр.
• Если мы заменим матричное умножение MN матричным коммутатором MN − NM , то матрицы n × n заменят алгебру Ли, что приводит к созданию теории представлений алгебр Ли.

Это обобщается на любое поле F и любое векторное пространство V над F с заменой линейных отображений матрицами и заменой композиции отображений матричным умножением: получим группу GL( V , F ) автоморфизмов над V , ассоциативную алгебру End _F ( V ) всех эндоморфизмов над V и соответствующую алгебру Ли gl ( V , F ).

Определение

Существует два способа определить представление. Первый использует идею действия группы , обобщая способ матрицы воздействовать на вектор-столбец с помощью матричного умножения. Представление группы G или алгебры A (ассоциативной или Ли) на векторном пространстве V — это отображение

${\displaystyle \Phi \colon G\times V\to V}$ или ${\displaystyle \Phi \colon A\times V\to V}$

с двумя свойствами. Во-первых, для любых g из G (или a из A ) отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (g)\colon V&\to V\\v&\mapsto \Phi (g,v)\end{aligned}}}$

линейно (над F ).

В зависимости от представленной группы различают разделы теории представлений:

• Конечные группы — см. .
• Топологические группы — некоторые построения для представлений конечных групп можно обобщить и для бесконечных групп. Для локально компактных топологических групп это можно сделать с помощью меры Хаара . На результирующей теории во многом основан гармонический анализ , а также современное изложение общей .
• Группы Ли — многие группы Ли являются компактными. Соответственно, к ним можно применить теорию представлений компактных групп. См. .

См. также

• Представление группы

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 5 августа 2011 )