Потемнение диска к краю — оптический эффект при наблюдении звёзд, включая Солнце , при котором центральная часть диска звезды кажется ярче, чем край или лимб диска. Понимание данного эффекта позволило создать модели звездных атмосфер с учетом подобного градиента яркости, что способствовало развитию теории переноса излучения.

Основы теории

Ключевым понятием при описании данного эффекта является оптическая толщина . Расстояние, равное оптической толщине, показывает толщину слоя газа, из которого может выйти только доля фотонов, равная 1/ e . Данная величина определяет видимый край звезды, поскольку на глубине нескольких единиц оптической толщины звезда становится непрозрачной для излучения. Наблюдаемое излучение звезды можно представить суммой излучения вдоль луча зрения до точки, в которой оптическая толщина становится равной единице. При наблюдении края звезды наблюдатель видит слои звезды на меньшей глубине по сравнению с наблюдением центра диска, поскольку в первом случае луч зрения проходит через слои газа под большим углом к нормали. Другими словами, расстояние от центра звезды до слоя, имеющего единичную оптическую толщину, увеличивается при смещении луча зрения от центра диска к краю.

Другой эффект состоит в том, что эффективная температура в атмосфере звезды обычно понижается с увеличением расстояния от центра звезды. Свойства излучения являются функциями данной температуры. Например, в случае приближения звезды абсолютно чёрным телом проинтегрированная по спектру интенсивность пропорциональна четвёртой степени температуры ( Закон Стефана — Больцмана ). Поскольку, когда мы наблюдаем звезду, в первом приближении излучение приходит от слоя, оптическая толщина которого равна единице, и глубина данного слоя больше при наблюдении центра звезды, то в центральной области диска излучение приходит от слоя с большей температурой, интенсивность излучения выше.

В реальности температура в звёздных атмосферах не всегда строго уменьшается с увеличением расстояния от центра звезды и для некоторых спектральных линий единичная оптическая толщина достигается в области увеличения температуры. В подобном случае наблюдатель видит эффект увеличения яркости к краю диска. Для Солнца наличие области минимальной температуры означает, что эффект усиления яркости к краю диска будет доминировать в области далёкого инфракрасного излучения и радиоизлучения . За пределами нижних слоев атмосферы Солнца, над областью минимальной температуры Солнца расположена солнечная корона , имеющая температуру около 10 ⁶ K . Для большинства длин волн данная область является оптически тонкой (имеет малую оптическую толщину), и, следовательно, должно наблюдаться увеличение яркости к краю в предположении сферической симметрии.

Классический анализ эффекта предполагает существование гидростатического равновесия, но начиная с некоторого уровня точности подобное предположение перестает выполняться (например, в солнечных пятнах , факелах ). Граница между хромосферой и солнечной короной представляет сложную область перехода, хорошо наблюдаемую в ультрафиолетовом излучении .

Вычисление потемнения диска

На представленном справа рисунке наблюдатель находится в точке P за пределами атмосферы звезды. Интенсивность излучения, наблюдаемая в направлении θ , является функцией угла ψ . Интенсивность можно представить в виде полинома по степеням cos ψ:

${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,}$

где I (ψ) — интенсивность, наблюдаемая в точке P вдоль луча зрения, образующего угол ψ с радиус-вектором из центра звезды, I (0) — интенсивность от центра диска. Поскольку отношение равно единице при ψ = 0, то

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.}$

В случае излучения Солнца на длине волны 550 нм эффект потемнения к краю можно аппроксимировать при N = 2:

${\displaystyle a_{0}=1-a_{1}-a_{2}=0.3,}$

${\displaystyle a_{1}=0.93,}$

${\displaystyle a_{2}=-0.23}$

(см. Cox, 2000). Часто уравнение потемнения диска записывают в виде

${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},}$

содержащем N независимых переменных. Можно указать связь между коэффициентами a _k и A _k . Например, при N = 2:

${\displaystyle A_{1}=-(a_{1}+2*a_{2}),}$

${\displaystyle A_{2}=a_{2}.}$

Тогда для излучения Солнца с длиной волны 550 нм

${\displaystyle A_{1}=-0.47,}$

${\displaystyle A_{2}=-0.23.}$

В данной модели интенсивность излучения на краю диска Солнца составляет 30% интенсивности в центре диска.

Полученные формулы можно переписать в терминах угла θ с помощью замены

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},}$

где Ω — угловое расстояние между центром диска и лимбом. Для малых углов θ имеем

${\displaystyle \cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.}$

Рассмотренное выше приближение можно использовать для вывода аналитического выражения отношения средней интенсивности к центральной. Средняя интенсивность I _m представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, делённый на телесный угол, занимаемый диском:

${\displaystyle I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},}$

где dω = sin θ dθ dφ является элементом телесного угла, переменные интегрирования лежат в пределах: 0 ≤ φ ≤ 2π и 0 ≤ θ ≤ Ω. Интеграл можно переписать в виде

${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.}$

Данное уравнение можно решать аналитически, но это весьма сложно. Однако, для удаленного на бесконечное расстояние наблюдателя ${\displaystyle d\cos \theta }$ можно заменить на ${\displaystyle \sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi }$ , в результате

${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,}$

${\displaystyle {\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.}$

Для излучения Солнца на длине волны 550 нм средняя интенсивность оказывается равной 80,5% от центральной интенсивности.

Литература

• Billings, Donald E. . — Academic Press, New York, 1966.
• Cox, Arthur N. (ed). . — 14th. — Springer-Verlag, NY, 2000. — ISBN 0-387-98746-0 .
• Milne, E.A. Radiative Equilibrium in the Outer Layers of a Star: the Temperature Distribution and the Law of Darkening (англ.) // MNRAS : journal. — 1921. — Vol. 81 . — P. 361—375 . — doi : . — Bibcode : .
• Minnaert, M. On the Continuous Spectrum of the Corona and its Polarisation (англ.) // Astronomy and Astrophysics : journal. — 1930. — Vol. 1 . — P. 209 .
• Neckel, H.; Labs, D. Solar Limb Darkening 1986-1990 (англ.) // (англ.) ( . — 1994. — Vol. 153 , no. 1—2 . — P. 91—114 . — doi : . — Bibcode : .
• van de Hulst; H. C. The Electron Density of the Solar Corona // Bull. Astron. Inst. Netherlands. — 1950. — Т. 11 , № 410 . — С. 135 .
• Mariska, John. The Solar Transition Region. — Cambridge University Press, Cambridge, 1993. — ISBN 0521382610 .
• Steiner, O., Photospheric processes and magnetic flux tubes, (2007)