Гра́фик фу́нкции — геометрическое понятие в математике , дающее представление о геометрическом образе функции .

Наиболее наглядны графики вещественнозначных функций вещественного переменного одной переменной.

Для непрерывной функции двух переменных ${\displaystyle z=f(x,\ y)}$ их графики представляют собой поверхности в трёхмерном пространстве , являющиеся геометрическим местом точек ${\displaystyle z,\ x,\ y.}$ Эти поверхности могут быть изображены на плоскости в какой-либо изометрической проекции (см. рисунок).

Обычно графики строят в прямоугольной системе координат , на плоскости эту систему координат называют декартовой системой координат . Также графики для повышения наглядности часто строят в других системах координат, например, в полярной системе координат или других косоугольных системах координат .

В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы ( x ) и ординаты ( y ), которые связаны отображаемой функцией:

точка ${\displaystyle (x,y)}$ располагается (или находится) на графике функции ${\displaystyle y=f(x)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y=f(x)}$ .

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком .

Из определения графика функции следует, что далеко не всякое множество точек плоскости может быть графиком некоторой функции, например, из требования однозначности функции вытекает, что никакая прямая, параллельная оси ординат , не может пересекать график функции более чем в одной точке. Если функция обратима, то график обратной функции (как подмножество плоскости) будет совпадать с графиком самой функции (это, проще говоря, одно и то же подмножество плоскости).

Некоторые функции определены только в конечном дискретном множестве аргумента, при этом график таких функций представляет собой множество точек — например, график функции, определённой как:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1\\b,&x=2\\c,&x=3\end{matrix}}\right.}$

представляет собой множество из трёх точек ${\displaystyle (1,\ a);~(2,\ b);~(3,\ c).}$

График гладкой (требуемое количество раз дифференцируемой функции ) является плоской кривой той же степени гладкости.

Некоторые графики имеют самостоятельные имена, например:

• График линейной функции — прямая .
• График квадратной функции — парабола .
• График дробной функции — гипербола .
• График показательной функции — экспонента
• График синуса — синусоида , график косинуса — косинусоида , тангенса — и т. д.

Определение графика

При рассмотрении отображения произвольного вида ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , действующего из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ , графиком функции называется следующее множество упорядоченных пар:

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\,\}.}$

В частности, при рассмотрении динамических систем , изображающая точка ${\displaystyle (t,f(t))}$ представляет собою график решения соответствующего дифференциального уравнения с заданными начальными условиями такой график часто называют фазовой траекторией системы.

Примеры

Функция	График функции	Описание
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$		Функция ${\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x).}$ В точке ${\displaystyle x=0~~y=0.}$
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&x=1\\8,&x=2\\15,&x=3\end{cases}}}$		Пример графика функции, определённой только в трёх точках ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ и содержит только три точки с координатами ${\displaystyle (1,0)}$ , ${\displaystyle (2,8)}$ и ${\displaystyle (3,15).}$
${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} (x)}$ ${\displaystyle f(x)=\operatorname {ctg} (x)}$ ${\displaystyle f(x)=\sec(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\operatorname {cosec} (x)}$		Графики тригонометрических функций: синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса , косеканса
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$		График гиперболы. При ${\displaystyle x=0}$ претерпевает разрыв 2-го рода и в точке ${\displaystyle x=0}$ не определена.
${\displaystyle f(x)=b^{x}}$		Графики функций ${\displaystyle y=b^{x}}$ различными основаниями ${\displaystyle b}$ : основание: 10 основание: e основание: 2 основание: 1 / 2 Каждая кривая проходит через точку (0, 1) .
${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$		График ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$ кубического многочлена вещественной переменной, это множество ${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x)\in \mathbb {R} ^{2}\ |x\in \mathbb {R} \}}$ .

См. также

• Исследование функции
• Преобразования графиков функций

Литература

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.

Ссылки

• Построение графика функции онлайн: от 25 ноября 2021 на Wayback Machine , от 2 апреля 2015 на Wayback Machine , от 26 марта 2022 на Wayback Machine
• на YouTube