В самом деле, указанные соотношения неопределённостей можно получить, исходя из уравнений Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

где ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}$ — тензор Эйнштейна , который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор , ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ — тензор Риччи , получающийся из тензора кривизны пространства-времени ${\displaystyle R_{abcd}}$ посредством свёртки его по паре индексов , ${\displaystyle R}$ — скалярная кривизна , то есть свёрнутый тензор Риччи, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — метрический тензор , ${\displaystyle \Lambda }$ — космологическая постоянная , а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, ${\displaystyle \pi }$ — число пи , ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная Ньютона).

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым , т.е. искривлённым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля ${\displaystyle N_{\mu \nu ...}}$ величину ${\displaystyle N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}}$ можно назвать тензорной плотностью, где ${\displaystyle g}$ — определитель метрического тензора ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ . Когда область интегрирования мала, ${\displaystyle \int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ является тензором . Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат . Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трёхмерной гиперповерхности ${\displaystyle S^{\nu }}$ .

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трёхмерной гиперповерхности ${\displaystyle S^{\nu }}$ . Имеем

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, получаем тензорное уравнение

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }}$

где ${\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ — 4-импульс, ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ — радиус кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Так как ${\displaystyle P_{\mu }=mc\,U_{\mu }}$ то

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }}$

где ${\displaystyle r_{g}}$ — радиус Шварцшильда , ${\displaystyle U_{\mu }}$ — 4-скорость, ${\displaystyle m}$ — гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин ${\displaystyle R_{\mu }}$ как компонент гравитационного радиуса ${\displaystyle r_{g}}$ .

В малой области пространство-время практически плоское и это уравнение можно написать в операторном виде

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

или

Уравнение квантовой гравитации ${\displaystyle -2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle }$

Тогда коммутатор операторов ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}$ и ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}$ равен

${\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}}$

Откуда следуют вышеуказанные соотношения неопределённостей

${\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}}$

Подставляя сюда значения ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }}$ и ${\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$ и сокращая справа и слева одинаковые константы, получаем соотношения неопределённостей Гейзенберга .

${\displaystyle \Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

В частном случае статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем ${\displaystyle U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$ и остается

${\displaystyle \Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$

где ${\displaystyle r_{g}}$ - радиус Шварцшильда , ${\displaystyle r}$ - радиальная координата . Здесь ${\displaystyle R_{0}=r_{g}}$ , а ${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$ , т.к. на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Последнее соотношение неопределённостей позволяет делать некоторые оценки уравнений ОТО применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала ${\displaystyle dS}$ в решении Шварцшильда имеет вид

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределённостей, вместо ${\displaystyle r_{g}}$ величину ${\displaystyle r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r}$ получим

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Видно, что на планковском уровне ${\displaystyle r=\ell _{P}}$ инвариантный интервал ${\displaystyle dS}$ ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений ОТО .

Выписанные выше соотношения неопределённостей справедливы для любых гравитационных полей.