Interested Article - Калибровочная теория гравитации

Калибровочная теория гравитации — это подход к объединению гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями , успешно описываемыми в рамках калибровочной теории .

История

Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории. Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга — Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.

Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций. При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии $X$ . Любая такая связность является суммой $K=\Gamma +\Theta$ общей линейной связности $\Gamma$ на $X$ и припаивающей формы $\Theta =\Theta _{\mu }^{a}dx^{\mu }\otimes \vartheta _{a}$ , где $\vartheta _{a}=\vartheta _{a}^{\lambda }\partial _{\lambda }$ — неголономный репер.

Существуют различные физические интерпретации трансляционной части $\Theta$ аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле $\Theta$ описывает дисторсию. В другой трактовке, если линейный репер $\vartheta _{a}$ задан, разложение $\theta =\vartheta ^{a}\otimes \vartheta _{a}$ дает основание ряду авторов рассматривать корепер $\vartheta ^{a}$ именно как калибровочное поле трансляций.

Общие ковариантные преобразования

Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга — Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения $P\to X$ , оставляющие неподвижной его базу $X$ . В то же время теория гравитации строится на главном расслоении $FX$ касательных реперов к $X$ . Оно принадлежит категории натуральных расслоений $T\to X$ , для которых диффеоморфизмы базы $X$ канонически продолжаются до автоморфизмов $T$ . Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями . Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности , и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.

В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии $X$ , определяемые как связности на главном реперном расслоении $FX$ , а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля , отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.

Псевдориманова метрика и хиггсовские поля

Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа $G$ главного расслоения $P\to X$ редуцирована к своей замкнутой подгруппе $H$ , то есть существует главное подрасслоение расслоения $P$ со структурной группой $H$ . При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями $P$ со структурной группой $H$ и глобальными сечениями фактор-расслоения $P/H\to X$ . Эти сечения описывают классические хиггсовские поля .

Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы $GL(4,\mathbb {R} )$ по подгруппе Лоренца . Геометрический принцип эквивалентности , постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы $GL(4,\mathbb {R} )$ главного реперного расслоения $FX$ к группе Лоренца . Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии $X$ как глобального сечения фактор-расслоения $FX/O(1,3)\to X$ ведет к её физической интерпретации как хиггсовского поля.

См. также

Примечания

R. Utiyama Invariant theoretical interpretation of interaction, — Physical Review 101 (1956) 1597 (русский перевод в Сб. Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д. Д. Иваненко , — М. : Мир, 1964).
F.Hehl, J. McCrea, E. Mielke, Y. Ne’eman Metric-affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilaton invariance, — Physics Reports 258 (1995) 1.
C.Malyshev The dislocation stress functions from the double curl $T(3)$ -gauge equations: Linearity and look beyond, — Annals of Physics 286 (2000) 249.
M. Blagojević Gravitation and Gauge Symmetries, — IOP Publishing, Bristol, 2002.
I. Kolář, P. W. Michor, J. Slovák Natural Operations in Differential Geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993.
Иваненко Д. Д. , Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации, — М. : Изд. МГУ, 1985.
D.Ivanenko , G.Sardanashvily The gauge treatment of gravity, — Physics Reports 94 (1983) 1.
L. Nikolova, V. Rizov Geometrical approach to the reduction of gauge theories with spontaneous broken symmetries, — Reports on Mathematical Physics 20 (1984) 287.
M. Leclerc The Higgs sector of gravitational gauge theories, — Annals of Physics 321 (2006) 708.

Литература

Д. Д. Иваненко , Г. А. Сарданашвили . Гравитация, 4-е изд., — М. : Изд. ЛКИ, 2010.
I. Kirsch A Higgs mechanism for gravity, — Phys. Rev. D72 (2005) 024001; .
Yu. Obukhov Poincare gauge gravity: selected topics, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (2006) 95-138; .
G. Sardanashvily Classical gauge gravitation theory, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011) 1869—1895; .