Обратная задача — тип задач, часто возникающий во многих разделах науки , когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Примеры обратных задач можно найти в следующих областях: геофизика , астрономия , медицинская визуализация , компьютерная томография , дистанционное зондирование Земли , спектральный анализ , и задачи по неразрушающему контролю .

Обратные задачи являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно поставленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость ) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее. В функциональном анализе обратная задача представляется в виде отображения между метрическими пространствами . Обратные задачи обычно формулируются в бесконечномерных пространствах, но ограничение на конечность измерений и целесообразность вычисления конечного числа неизвестных параметров приводят к изменению задачи в дискретной форме. В этом случае используют метод регуляризации для того, чтобы избежать переобучения .

Линейная обратная задача

Линейная обратная задача может быть описана в следующем виде:

${\displaystyle \ d=G(m)}$ ,

где ${\displaystyle G}$ — линейный оператор , описывающий явные отношения между данными и параметрами модели, и представляющий собой физическую систему. В случае дискретной линейной обратной задачи, описывающей линейную систему , ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle m}$ являются векторами , что позволяет использовать следующее представление задачи:

${\displaystyle \ d=Gm}$ ,

где ${\displaystyle G}$ является матрицей .

Примеры

Примером линейной обратной задачи служит интегральное уравнение Фредгольма первого порядка.

${\displaystyle d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy}$

Для существенно гладкого ${\displaystyle g}$ определённый выше оператор является компактным на таких банаховых пространствах , как Пространства ${\displaystyle L^{p}}$ . Даже если отображение является взаимно однозначным , обратная функция не будет непрерывной . Таким образом, даже маленькие ошибки в данных ${\displaystyle d}$ будут сильно увеличены в решении ${\displaystyle m}$ . В этом отношении обратная задача по определению ${\displaystyle m}$ из измеренных данных ${\displaystyle d}$ будет являться некорректной.

Для получения численного решения необходимо аппроксимировать интеграл с помощью численного интегрирования и дискретных данных. Результирующая система линейных уравнений будет некорректно поставленной задачей.

Преобразование Радона также является примером линейной обратной задачи.

Нелинейная обратная задача

В нелинейных обратных задачах ставятся более сложные отношения между данными и моделью, которые описываются уравнением:

${\displaystyle \ d=G(m).}$

Здесь ${\displaystyle G}$ представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего ${\displaystyle m}$ в данные. Линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце XIX века , из нелинейных до 1970 года был решён только один класс задач — задача обратного рассеяния. Существенный вклад внесла российская математическая школа ( Крейн , Гельфанд , Левитан ).

Ссылки

Международные научные журналы

Литература

• Гольцман Ф. М. Статистические модели интерпретации. - М., Наука, 1971. - 323 c.