Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.

Вид уравнения

В пространстве с произвольной системой координат ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\ldots ,r_{n})}$ уравнение теплопроводности имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(\mathbf {r} ,t),}$

где ${\displaystyle a}$ — положительная константа (число ${\displaystyle a^{2}}$ является коэффициентом температуропроводности ), ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ — оператор Лапласа и ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)}$ — функция тепловых источников . Искомая функция ${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$ задает температуру в точке с координатами ${\displaystyle \mathbf {r} }$ в момент времени ${\displaystyle t}$ .

Данное уравнение можно объяснить следующим образом. Скорость изменения температуры во времени пропорциональна кривизне распределения температуры по пространству (второй производной). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" температуры в теле, тем быстрее в этих местах идёт выравнивание температуры.

В пространстве с декартовыми координатами ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ уравнение теплопроводности принимает вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)=f(x,t).}$

Уравнение теплопроводности называется однородным , если ${\displaystyle f(x,t)\equiv 0}$ , т.е. внутри системы нет источников и "стоков" тепла.

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\\\end{array}}}$

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — начальная функция , непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция ${\displaystyle u=u(x,t)}$ является непрерывной и ограниченной при ${\displaystyle t\geqslant 0}$ и всех значениях аргумента ${\displaystyle x}$ .

Для однородной задачи Коши имеют место следующие свойства :

• Принцип максимума (теорема о максимуме и минимуме): Решение однородной задачи Коши удовлетворяет неравенствам ${\displaystyle \inf \varphi \leqslant u(x,t)\leqslant \sup \varphi }$ при всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle t>0}$ .
• Теорема существования и единственности: Для любого ${\displaystyle T>0}$ решение однородной задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальной функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ в полосе ${\displaystyle S=\{(x,t)\mid 0\leqslant t\leqslant T,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\}}$ . Другими словами, данная задача Коши является корректно поставленной .
• Ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием ${\displaystyle \varphi (x)=\delta (x)}$ , где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t>0.}$

где ${\displaystyle |x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ — стандартный скалярный квадрат вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ . Иногда ядро уравнения теплопроводности называют также его фундаментальным решением , хотя чаще всего под фундаментальным решением понимается функция, которая получается из ядра умножением на функцию Хевисайда .

• Совпадение формулы для ядра уравнения теплопроводности с плотностью нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , пропорциональной ${\displaystyle a^{2}t}$ , не случайно. Оно объясняется тем, что перенос тепла связан с броуновским движением частиц, которое математически описывается с помощью винеровского случайного процесса .
• Интеграл Пуассона: В пространстве с декартовыми координатами решение однородной задачи Коши задается в виде интегральной формулы, называемой интегралом Пуассона . Именно, ${\displaystyle u(x,t)}$ при всех ${\displaystyle t>0}$ есть свёртка по пространственной переменной ${\displaystyle x}$ ядра с начальной функцией:

${\displaystyle u(x,t)=\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi (x-y,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.}$

• Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши (отметим, что неограниченных решений существует бесконечно много).
• Физический парадокс: из формулы Пуассона следует, что если начальная функция ${\displaystyle \varphi }$ равна нулю всюду, за исключением некоторой ограниченной области, например, заданной условием ${\displaystyle |x|<\epsilon }$ , в которой она положительна, то через сколь угодно малый промежуток времени ${\displaystyle t>0}$ решение ${\displaystyle u(x,t)}$ будет строго положительным во всех точках пространства, со сколь угодно большими значениями ${\displaystyle |x|}$ . Отсюда следует парадоксальное с физической точки зрения утверждение, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Объяснение парадокса состоит в том, что уравнение теплопроводности не вполне точно описывает реальный физический процесс распространения тепла. Практика показывает, что в большинстве случаев это уравнение всё же даёт достаточно хорошее приближение .

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.\\\end{array}}}$

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид :

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+}$

${\displaystyle +\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-s)}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}(t-s)}}{\biggr )}\,f(y,s)\,dy\,ds.}$

Одномерное уравнение теплопроводности

Для случая одной пространственной переменной x (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид

${\displaystyle u_{t}-a^{2}u_{xx}=0.}$

Для этого уравнения можно ставить и решать различные краевые задачи , один из методов решения которых предложен французским математиком Фурье и носит его имя

Метод разделения переменных (Метод Фурье)

Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Рассмотрим следующую задачу:

${\displaystyle {\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\;0)=\varphi (x);\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\u(l,\;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\\\end{array}}}$

Требуется найти функцию ${\displaystyle u(x,\;t)}$ для ${\displaystyle \forall (x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T}$ .

Представим искомую функцию в виде произведения

${\displaystyle u(x,\;t)=X(x)T(t).}$

Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим

${\displaystyle X(x)T'(t)=a^{2}X''(x)T(t).}$

Разделим выражение на ${\displaystyle a^{2}X(x)T(t)}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\frac {T'(t)}{T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ,\;\lambda =\mathrm {const} .}$

Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от ${\displaystyle t}$ , а в правой — только от ${\displaystyle x}$ , то, фиксируя любое значение ${\displaystyle x}$ в правой части, получаем, что для любого ${\displaystyle t}$ значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе ${\displaystyle -\lambda }$ (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:

${\displaystyle {\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0,\\T'(t)+a^{2}\lambda T(t)=0.\end{array}}}$

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:

${\displaystyle {\begin{array}{l}u(0,\;t)=X(0)T(t)=0,\\u(l,\;t)=X(l)T(t)=0,\end{array}}}$

откуда ${\displaystyle X(0)=X(l)=0}$ ( ${\displaystyle T(t)\neq 0}$ , так как в противном случае мы имели бы решение ${\displaystyle u(x,\;t)=0}$ , а мы ищем только нетривиальные решения).

С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма — Лиувилля :

${\displaystyle {\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0;\\X(0)=0,\\X(l)=0.\\\end{array}}}$

Её решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трёх случаев:

1. ${\displaystyle \lambda <0.}$

   В этом случае общий вид решения будет следующим:

   ${\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {-\lambda }}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {-\lambda }}x}.}$

   Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет ${\displaystyle X(x)\equiv 0}$ , а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.

2. ${\displaystyle \lambda =0.}$

   Общий вид решения

   ${\displaystyle X(x)=C_{1}x+C_{2}.}$

   Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.

3. ${\displaystyle \lambda >0.}$

   Общий вид решения

   ${\displaystyle X(x)=C_{1}\cos({\sqrt {\lambda }}x)+C_{2}\sin({\sqrt {\lambda }}x).}$

   Подставим граничные условия:

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}X(0)=C_{1}=0,\\X(l)=C_{2}\sin({\sqrt {\lambda }}l)=0.\end{array}}}$

   Так как мы ищем только нетривиальные решения, ${\displaystyle C_{2}=0}$ нам не подходит, следовательно

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}\sin({\sqrt {\lambda }}l)=0,\\{\sqrt {\lambda }}l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ldots \\\end{array}}}$

   ${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;\ldots }$

   Отсюда

   ${\displaystyle X_{n}(x)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots }$

C учетом найденных ${\displaystyle \lambda }$ , выведем общее решение линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle T'(t)+a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}T(t)=0.}$

Должен получиться ответ

${\displaystyle T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right),\quad D_{n}=\mathrm {const} .}$

Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:

${\displaystyle u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right),\quad n=1,\;2,\;\ldots }$

В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы , то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по ${\displaystyle n}$ от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.

${\displaystyle u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right).}$

Осталось определить значение константы ${\displaystyle C}$ (зависящей от ${\displaystyle n}$ ) из начального условия

${\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x).}$

Для того, чтобы определить значение ${\displaystyle C_{n}}$ , необходимо разложить функцию ${\displaystyle \varphi (x)}$ в ряд Фурье :

${\displaystyle {\begin{array}{l}\varphi (x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right),\\A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}}$

Получаем:

${\displaystyle {\begin{array}{l}u(x,\;0)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }C_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right),\\C_{n}=A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}}$

Откуда общее решение:

${\displaystyle u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left({\dfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi \right)\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\dfrac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right).}$

В курсе математической физики доказывается, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям данной задачи, то есть функция ${\displaystyle u(x,\;t)}$ дифференцируема (и ряд сходится равномерно ), удовлетворяет уравнению в области определения и непрерывна в точках границы этой области.

Неоднородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями

Рассмотрим следующую задачу для неоднородного уравнения :

${\displaystyle {\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\u(l,\;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\end{array}}}$

Пусть

${\displaystyle {\begin{array}{l}u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t),\\f_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)F_{n}(t),\\X_{n}(x)=\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right).\end{array}}}$

Тогда, пользуясь очевидным соотношением ${\displaystyle X''_{n}(x)=-\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}X_{n}(x)}$ , перепишем исходное уравнение как:

${\displaystyle {\begin{array}{l}X_{n}(x)T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}X_{n}(x)T_{n}(t)+X_{n}(x)F_{n}(t),\\T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t)+F_{n}(t).\end{array}}}$

Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной . Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения

${\displaystyle {\begin{array}{l}T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t),\\T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right).\end{array}}}$

В общем решении заменим постоянную ${\displaystyle D_{n}}$ на переменную ${\displaystyle D_{n}(t)}$ и подставим в исходное уравнение.

${\displaystyle {\begin{array}{l}T_{n}(t)=D_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)D_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)D_{n}(t)+F_{n}(t),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)=F_{n}(t),\\D_{n}(t)=\displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\,dt+A_{n},\\T_{n}(t)=A_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)+\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\,dt.\end{array}}}$

Из начального условия получаем:

${\displaystyle {\begin{array}{l}u_{n}(x,\;0)=X_{n}(x)T_{n}(0)=0,\\T_{n}(0)=0.\end{array}}}$

С учетом условия для ${\displaystyle T}$ , получаем

${\displaystyle T_{n}(t)=\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}(t-\tau )\right)F_{n}(\tau )\,d\tau .}$

Так как

${\displaystyle f_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)F_{n}(t)=\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)F_{n}(t),}$

то ${\displaystyle F_{n}(t)}$ , очевидно, является коэффициентом ряда Фурье, и равен

${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;t)\sin \left({\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .}$

В результате, общая формула такова:

${\displaystyle u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}(t-\tau )\right)\left\{{\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;\tau )\sin \left({\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi \right\}\,d\tau \right]\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right).}$

Общая первая краевая задача

Во многих случаях удаётся решить неоднородное уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями

${\displaystyle {\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\\u(x,\;0)=\varphi (x),\\u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t)\end{array}}}$

с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы:

${\displaystyle {\begin{array}{l}u(x,\;t)={\tilde {u}}(x,\;t)+U(x,\;t),\\{\tilde {u}}(x,\;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi (x)-U(x,\;0),\\{\tilde {u}}(0,\;t)=0,\\{\tilde {u}}(l,\;t)=0.\end{array}}}$

Найдём функцию ${\displaystyle U(x,\;t)}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{l}U(x,\;t)=Ax+b,\\U(0,\;t)=b=\mu _{1}(t),\\U(l,\;t)=Al+\mu _{1}=\mu _{2}\Rightarrow A={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l}},\\U(x,\;t)={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l}}x+\mu _{1}(t).\end{array}}}$

Таким образом, исходная задача свелась к следующей:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\tilde {u}}_{t}=a^{2}{\tilde {u}}_{xx}+f(x,\;t)-{\dfrac {\mu '_{2}(t)-\mu '_{1}(t)}{l}}x-\mu '_{1}(t),\\{\tilde {u}}(x,\;0)=\varphi (x)-{\dfrac {\mu _{2}(0)-\mu _{1}(0)}{l}}x-\mu _{1}(0),\\{\tilde {u}}(0,\;t)=0,\\{\tilde {u}}(l,\;t)=0.\end{array}}}$

После того, как мы найдём функцию ${\displaystyle {\tilde {u}}(x,\;t)}$ , искомую функцию найдём по формуле

${\displaystyle u(x,\;t)={\tilde {u}}(x,\;t)+{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{l}}x+\mu _{1}.}$

Литература

На русском языке

• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
• Тихонов А. Н. , Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.

На английском языке

• Cannon, John Rozier (1984), , Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 23 (1st ed.), Reading-Menlo Park–London–Don Mills–Sidney–Tokyo/ Cambridge–New York–New Rochelle–Melbourne–Sidney: Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , pp. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2 , MR , Zbl .

• Crank, J.; Nicolson, P.; Hartree, D. R. (1947), "A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 43 : 50—67, Bibcode : , doi :
• Einstein, Albert (1905), "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", Ann. Phys. Leipzig 17 , 322 (8): 549—560, Bibcode : , doi :
• Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 {{ citation }} : Неизвестный параметр |address= игнорируется ( |location= предлагается) ( справка )
• John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
• Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction , Cambridge University Press
• Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
• Thambynayagam, R. K. M. (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
• Perona, P; (1990), "Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 12 (7): 629—639
• Unsworth, J.; Duarte, F. J. (1979), "Heat diffusion in a solid sphere and Fourier Theory", Am. J. Phys. , 47 (11): 891—893, Bibcode : , doi :

Ссылки

• : Particular solutions and boundary value problems — from EqWorld

Примечания