Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве . Введены Леонардом Эйлером .

В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства ).

Определение

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как ${\displaystyle (x,y,z)}$ , конечную как ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ . Пересечение координатных плоскостей ${\displaystyle xy}$ и ${\displaystyle XY}$ называется линией узлов ${\displaystyle N}$ .

• Угол ${\displaystyle \alpha }$ между осью ${\displaystyle x}$ и линией узлов — угол прецессии.
• Угол ${\displaystyle \beta }$ между осями ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle Z}$ — угол нутации.
• Угол ${\displaystyle \gamma }$ между линией узлов и осью ${\displaystyle X}$ — угол собственного вращения.

Повороты системы на эти углы называются прецессия , нутация и поворот на собственный угол ( вращение ). Такие повороты некоммутативны , и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится серия из трёх поворотов:

1. На угол ${\displaystyle \alpha }$ вокруг оси ${\displaystyle z}$ . При этом ось ${\displaystyle x}$ переходит в ${\displaystyle N}$ .
2. На угол ${\displaystyle \beta }$ вокруг оси ${\displaystyle N}$ . При этом ось ${\displaystyle z}$ переходит в ${\displaystyle Z}$ .
3. На угол ${\displaystyle \gamma }$ вокруг оси ${\displaystyle Z}$ . При этом ось ${\displaystyle N}$ переходит в ${\displaystyle X}$ .

Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмысленности.

Формулы

Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию вокруг осей вращающейся системы координат. Матрицы этих поворотов имеют вид

${\displaystyle R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right),\quad R_{X}(\beta )=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos(\beta )&-\sin(\beta )\\0&\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right),\quad R_{Z}(\gamma )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right).}$

Последовательное выполнение этих поворотов даст матрицу

${\displaystyle R=R_{Z}(\gamma )\cdot R_{X}(\beta )\cdot R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\alpha )-\cos(\alpha )\cos(\beta )\sin(\gamma )&\sin(\beta )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\gamma )\sin(\alpha )+\cos(\alpha )\sin(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\beta )\\\sin(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right).}$

Произведение ${\displaystyle R\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$ , где ${\displaystyle x,y,z}$ — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Крен , тангаж и рыскание — угловые движения летательного аппарата или другого транспортного средства
• Матрица поворота
• Шесть степеней свободы
• Складывание рамок

Литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
• Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит , 2001. С. 23.
• Уиттекер Э. Аналитическая динамика С.25