ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31 , которая определяет « математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии » ( англ. mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology ). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2 (последняя редакция : ISO 80000-2:2019, 2nd edition).

Математические символы

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта .

Математическая логика

Обозна- чение	Употребление	Название	Смысл и пояснения	Комментарии
∧	p ∧ q	конъюнкция	p и q
∨	p ∨ q	дизъюнкция	p или q (возможно, оба)
¬	¬ p	отрицание	неверно p ; не- p
⇒	p ⇒ q	импликация	если p , то q ; из p следует q	Иногда записывается в виде p → q или q ⇐ p .
∀	∀ x ∈ A p ( x ) (∀ x ∈ A ) p ( x )	квантор общности	для каждого x из множества A верно утверждение p ( x )	Для краткости уточнение "∈ A " часто опускают, если оно ясно из контекста.
∃	∃ x ∈ A p ( x ) (∃ x ∈ A ) p ( x )	квантор существования	существует x из множества A , для которого утверждение p ( x ) верно	Для краткости уточнение "∈ A " часто опускают, если оно ясно из контекста. Вариант ∃! означает, что такое x единственно во множестве A .

Теория множеств

Обозна- чение	Употребление	Смысл и пояснения	Комментарии
∈	x ∈ A	x принадлежит A ; x является элементом множества A
∉	x ∉ A	x не принадлежит A ; x не является элементом множества A	Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
∋	A ∋ x	Множество A содержит элемент x	равносильно x ∈ A
∌	A ∌ x	Множество A не содержит элемента x	равносильно x ∉ A
{ }	{x 1 , x 2 , ..., x n }	множество, образованное элементами x 1 , x 2 , ..., x n	также {x i ∣ i ∈ I }, где I обозначает множество индексов
{ ∣ }	{ x ∈ A ∣ p ( x )}	множество таких элементов A , для которых утверждение p ( x ) верно	Пример: { x ∈ ℝ ∣ x > 5} Для краткости уточнение "∈ A " часто опускают, если оно ясно из контекста.
card	card( A )	кардинальное число элементов множества A ; мощность A
∖	A ∖ B	разность множеств A и B ; A минус B	Множество элементов из A , которых нет в B . A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Не следует записывать в виде A − B .
∅		пустое множество
ℕ		множество натуральных чисел , включая ноль	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой : ℕ * = {1, 2, 3, ...} Конечное подмножество: ℕ k = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}
ℤ		множество целых чисел	ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Целые ненулевые обозначаются ℤ * = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
ℚ		множество рациональных чисел	ℚ * = ℚ ∖ {0}
ℝ		множество вещественных чисел	ℝ * = ℝ ∖ {0}
ℂ		множество комплексных чисел	ℂ * = ℂ ∖ {0}
[,]	[ a , b ]	замкнутый интервал в ℝ от a (включая) до b (включая)	[ a , b ] = { x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b }
],] (,]	] a , b ] ( a , b ]	полуоткрытый слева интервал в ℝ от a (исключая) до b (включая)	] a , b ] = { x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b }
[,[ [,)	[ a , b [ [ a , b )	полуоткрытый справа интервал в ℝ от a (включая) до b (исключая)	[ a , b [ = { x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b }
],[ (,)	] a , b [ ( a , b )	открытый интервал в ℝ от a (исключая) до b (исключая)	] a , b [ = { x ∈ ℝ ∣ a < x < b }
⊆	B ⊆ A	B содержится в A ; B есть подмножество A	Каждый элемент B принадлежит A . Вариант символа: ⊂ .
⊂	B ⊂ A	B содержится в A как собственное подмножество	Каждый элемент B принадлежит A , но B не равен A . Если ⊂ обозначает "содержится", то ⊊ должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество".
⊈	C ⊈ A	C не содержится в A ; C не является подмножеством A	Вариант: C ⊄ A
⊇	A ⊇ B	A содержит B (как подмножество)	A содержит все элементы B . Вариант: ⊃. B ⊆ A равносильно A ⊇ B .
⊃	A ⊃ B .	A содержит B как собственное подмножество .	A содержит все элементы B , но A не равно B . Если используется символ ⊃ , то ⊋ должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество".
⊉	A ⊉ C	A не содержит C (как подмножество)	Вариант: ⊅ . A ⊉ C равносильно C ⊈ A .
∪	A ∪ B	объединение A и B	Множество элементов, принадлежащих либо A , либо B , либо обоим A и B . A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
⋃	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$	объединение семейства множеств	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}}$ , множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из A 1 , ..., A n . Варианты: ${\displaystyle \bigcup {}_{i=1}^{n}}$ и ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}}$ , ${\displaystyle \bigcup {}_{i\in I}}$ , где I — множество индексов.
∩	A ∩ B	пересечение A и B	Множество элементов, принадлежащих как A , так и B . A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
⋂	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$	пересечение семейства множеств	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}}$ , множество элементов, принадлежащих каждому A 1 , ..., A n . Варианты: ${\displaystyle \bigcap {}_{i=1}^{n}}$ и ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}}$ , ${\displaystyle \bigcap {}_{i\in I}}$ , где I — множество индексов.
∁	∁ A B	разность A и B	Множество тех элементов A , которых нет в B . Символ A часто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: ∁ A B = A ∖ B .
(,)	( a , b )	упорядоченная пара a , b	( a , b ) = ( c , d ) тогда и только тогда, когда a = c и b = d . Вариант записи: ⟨ a , b ⟩.
(,...,)	( a 1 , a 2 , ..., a n )	упорядоченный n - кортеж	Вариант записи: ⟨ a 1 , a 2 , ..., a n ⟩ ( угловые скобки ).
×	A × B	декартово произведение множеств A и B	Множество упорядоченных пар ( a , b ), где a ∈ A и b ∈ B . A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A обозначается A n , где n — число сомножителей.
Δ	Δ A	множество пар ( a , a ) ∈ A × A , где a ∈ A ; то есть диагональ множества A × A	Δ A = { ( a , a ) ∣ a ∈ A } Вариант записи: id A .

Прочие символы

Обозначение		Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
Юникод	TeX
≝	${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}}$	a ≝ b	a равно b по определению	Вариант записи: a := b
=	${\displaystyle =}$	a = b	a равно b	Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
≠	${\displaystyle \neq }$	a ≠ b	a не равно b	Вариант записи: ${\displaystyle a\not \equiv b}$ указывает, что a не тождественно равно b .
≙	${\displaystyle {\stackrel {\wedge }{=}}}$	a ≙ b	a соответствует b	Пример: на карте масштаба 1:10 6 1 см ≙ 10 км.
≈	${\displaystyle \approx }$	a ≈ b	a приблизительно равно b	Символ ≃ означает "асимптотически равно".
∼ ∝	${\displaystyle {\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}}$	a ∼ b a ∝ b	a пропорционально b
<	${\displaystyle <}$	a < b	a меньше, чем b
>	${\displaystyle >}$	a > b	a больше, чем b
⩽	${\displaystyle \leqslant }$	a ⩽ b	a меньше или равно b	Вариант: ≤, ≦.
⩾	${\displaystyle \geqslant }$	a ⩾ b	a больше или равно b	Вариант: ≥, ≧.
≪	${\displaystyle \ll }$	a ≪ b	a намного меньше, чем b
≫	${\displaystyle \gg }$	a ≫ b	a намного больше, чем b
∞	${\displaystyle \infty }$		бесконечность
() [] {} ⟨⟩	${\displaystyle {\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}}$	${\displaystyle ac+bc}$ , скобки ${\displaystyle ac+bc}$ , квадратные скобки ${\displaystyle ac+bc}$ , фигурные скобки ${\displaystyle ac+bc}$ , угловые скобки	В алгебре приоритет разных скобок ${\displaystyle (),[],\{\},\langle \rangle }$ не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления ${\displaystyle (),[],\{\},\langle \rangle }$ .
∥	${\displaystyle \|}$	AB ∥ CD	прямая AB параллельна прямой CD
⊥	${\displaystyle \perp }$	${\displaystyle \mathrm {AB\perp CD} }$	прямая AB перпендикулярна прямой CD
${\displaystyle \mid }$	${\displaystyle a\mid b}$	a — делитель b	или, что то же, b кратно a	${\displaystyle \mid }$

Операции

Обозначение	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
+	a + b	a плюс b
−	a − b	a минус b
±	a ± b	a плюс-минус b
∓	a ∓ b	a минус-плюс b	−( a ± b ) = − a ∓ b
...	...	...	...
⋮

Функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
${\displaystyle f:D\rightarrow C}$	функция f определена на D и принимает значения в C	Используется для явного указания областей определения и значения для функции.
${\displaystyle f\left(S\right)}$	${\displaystyle \left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}}$	Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения.
⋮

Показательная и логарифмическая функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
e	основание натуральных логарифмов	e = 2,71828...
e x	показательная функция с основанием e
${\displaystyle \log _{a}x}$	логарифм с основанием ${\displaystyle a}$
lb x	двоичный логарифм (с основанием 2)	lb x = ${\displaystyle \log _{2}x}$
ln x	натуральный логарифм (с основанием e)	ln x = ${\displaystyle \log _{e}x}$
lg x	десятичный логарифм (с основанием 10)	lg x = ${\displaystyle \log _{10}x}$
...	...	...
⋮

Круговые и гиперболические функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
${\displaystyle \pi }$	отношение длины окружности к её диаметру	${\displaystyle \pi }$ = 3,14159...
...	...	...
⋮

Комплексные числа

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
i   j	мнимая единица ; ${\displaystyle i^{2}=-1}$	в электротехнике вместо ${\displaystyle i}$ используется символ ${\displaystyle j}$ .
Re z	вещественная часть z	z = x + i y , где x = Re z и y = Im z
Im z	мнимая часть z
∣ z ∣	абсолютная величина z ; модуль z	Иногда обозначается mod z
arg z	аргумент z ; фаза z	${\displaystyle r=e^{i\varphi }}$ , где r = ∣ z ∣, φ = arg z , При этом Re z = r cos φ , Im z = r sin φ
z*	(комплексно-) сопряжённое к z число	Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки
sgn z	sgn z	sgn z = z / ∣ z ∣ = exp( i arg z ) для z ≠ 0, sgn 0 = 0

Матрицы

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
A	матрица A	...
...	...	...
⋮

Системы координат

Координаты	Радиус-вектор точки	Название системы координат	Комментарии
x , y , z	${\displaystyle [xyz]=[xyz];}$	прямоугольная система координат (декартова)	x 1 , x 2 , x 3 для координат и e 1 , e 2 , e 3 для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. e x , e y , e z образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i , j , k .
ρ , φ , z	${\displaystyle [x,y,z]=[\rho \cos(\phi ),\rho \sin(\phi ),z]}$	цилиндрическая система координат	e ρ ( φ ), e φ ( φ ), e z образуют ортогональный (правый) базис. Если z = 0 (двумерный случай), то ρ и φ — полярные координаты .
r , θ , φ	${\displaystyle [x,y,z]=r[\sin(\theta )\cos(\phi ),\sin(\theta )\sin(\phi ),\cos(\theta )]}$	сферическая система координат	e r ( θ , φ ), e θ ( θ , φ ), e φ ( φ ) образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
a ${\displaystyle {\vec {a}}}$	вектор a	векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой . Любой вектор a можно умножить на скаляр k , получая вектор k a .
...	...	...
⋮

Специальные функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
${\displaystyle J_{i}(x)}$	цилиндрические функции Бесселя (первого рода)	...
...	...	...
⋮

Стандарт ISO 80000-2

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):

• Стандартные числовые множества и интервалы ( Standard number sets and intervals ).
• Элементарная геометрия ( Elementary geometry ).
• Комбинаторика ( Combinatorics ).
• Преобразования ( Transforms ).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» ( Quantities and units — Part 2: Mathematics ).

См. также

• История математических обозначений
• Математические обозначения
• Таблица математических символов

Примечания

Ссылки

• (неопр.) . Международная организация по стандартизации . Дата обращения: 12 августа 2019.