Interested Article - Модель Рамсея — Касса — Купманса

Фрэнк Пламптон Рамсей
Тьяллинг Чарльз Купманс

Модель Рамсея — Касса — Купманса ( модель Рамсея , неоклассическая модель экономического роста , англ. Ramsey—Cass—Koopmans model ) — неоклассическая модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции . Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. Оптимальная динамика потребления из модели ( правило Кейнса — Рамсея ) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста. Вместе с тем, модель не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана одновременно и независимо друг от друга Тьяллингом Купмансом и (англ.) с использованием идей Фрэнка Рамсея в 1963 году.

История создания

В первых моделях экономического роста ( модель Солоу , модель Харрода — Домара ) использовались экзогенно задаваемые параметры: «норма сбережений » и «темп научно-технического прогресса », от которых, в конечном итоге, и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, исследователи обратились к работе Фрэнка Рамсея «Математическая теория сбережений» , опубликованной в (англ.) ещё в декабре 1928 года. В ней была выведена межвременная функция полезности потребителя и найдено условие оптимального выбора потребителя. Используя идеи Фрэнка Рамсея, будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Тьяллинг Купманс в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», опубликованной как «работа для обсуждения» в Йельском университете 6 декабря 1963 года , и изданной в более подробной версии в сборнике The Econometric Approach to Development Planning в 1965 году , и (англ.) в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», изданной в июле 1965 года в журнале (англ.) представили модель Рамсея — Касса — Купманса (также известную как модель Рамсея , неоклассическая модель экономического роста ), главной особенностью которой стало определение нормы сбережений в ходе решения задач оптимизации потребителями и фирмами, взаимодействующими в условиях совершенной конкуренции .

Работы Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса фактически излагают одинаковую модель (за исключением условия трансверсальности , введенного Кассом). Хотя работа Касса опубликована позже и в ней есть ссылка на работу Купманса , при этом Купманс, в свою очередь, в изданной полной версии работы, в которой также появляется условие трансверсальности, ссылается на диссертацию Касса . Оба исследователя предполагали, что пришли к этой модели «одновременно и независимо друг от друга». Подробно история с названием данной модели изложена в работе Стивена Спира и Уоррена Янга «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: модель Рамсея — Малинво — Купманса» . В ней авторы отмечают вклад Эдмона Малинво , который сформулировал условие трансверсальности раньше Касса, однако не применил его к рассматриваемой модели.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика . Фирмы максимизируют свою прибыль , а потребители полезность . Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции . Производится только один продукт , используемый, как для потребления , так и для инвестиций . Темпы технологического прогресса , роста населения и норма выбытия капитала — постоянны и задаются экзогенно . В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или ). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время изменяется непрерывно .

Доходы индивида состоят из заработной платы и поступлений от активов . Активы индивида могут быть как положительными, так и отрицательными ( долг ). Процентная ставка по доходам с активов и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци ( финансовой пирамиды ): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых :

,
где — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида совпадает с запасом капитала на одного работающего .

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт и импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: , .

Производственная функция удовлетворяет неоклассическим предпосылкам :

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду ): .

2) в производственной функции используются труд и капитал , она обладает постоянной отдачей от масштаба: .

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: .

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады , а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: .

5) для производства необходим каждый фактор: .

Население , равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом : .

Индивид предлагает одну единицу труда ( предложение труда неэластично ) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя имеет вид :

,
где — потребление на душу населения в момент времени ; — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, .

Функция полезности является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю) : .

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда , выпуск на единицу эффективного труда , запас капитала на единицу эффективного труда , потребление на единицу эффективного труда .

Задача потребителя

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшается на . Таким образом, производная активов по времени , выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид :

.

Задача потребителя заключается в максимизации полезности при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации . Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина .

Искомое решение имеет вид :

,
где — производная потребления по времени, — эластичность предельной полезности по потреблению.

Поскольку для дальнейшего анализа необходимо, чтобы эта величина была постоянной, вводится дополнительная предпосылка о виде функции полезности: в качестве неё используют функцию с постоянной эластичностью замещения :

.

В таком случае, , а значит :

,
где — производная потребления на душу населения по времени.

Найденное решение называется правилом Кейнса — Рамсея . Оно было получено Фрэнком Рамсеем, а содержательную интерпретацию ему дал Джон Кейнс .

Задача фирмы

Производственную функцию можно записать через удельные показатели: . Задача фирмы состоит в максимизации прибыли :

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции , то предельные производительности факторов производства равны их ценам :

,
.

Общее экономическое равновесие

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость
Модель Рамсея — Касса — Купманса, динамика нормы сбережений

Учитывая, что , подставив полученные из решения задачи фирмы значения и в уравнение динамики активов, получим :

.

Поскольку , решение задачи потребителя можно записать в следующем виде :

.

В стационарном состоянии . Откуда, получаем, что . В итоге, устойчивое состояние описывается системой уравнений :

где — потребление, а — капиталовооружённость на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

По условию трансверсальности :

,

откуда следует что . С учетом уравнения для , это условие означает, что для существование устойчивого состояния необходимо, чтобы . Также это означает, что в модели Рамсея — Касса — Купманса накопление капитала ниже, чем уровень максимизирующий потребление (модифицированное Золотое правило : , где — капиталовооружённость на единицу эффективного труда, соответствующая Золотому правилу), а значит, невозможна динамическая неэффективность в виде избыточного накопления капитала .

Достижение равновесия в модели можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости . Линии и делят диаграмму на четыре квадранта. Слева от линии траектория капиталовооружённости идет вверх, а справа от линии — вниз. Выше линии траектория капиталовооружённости идет влево, а ниже линии — вправо. Таким образом, в квадранте I траектория идет влево и вверх, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — вправо и вниз, в квадранте IV — вправо и вверх. В итоге, в модели существует только одна траектория, ведущая к равновесию — зеленая линия на иллюстрации. На этой линии расположено множество точек и , из которых система приходит в устойчивое состояние. Варианты траектории из других точек показаны красным, в этом случае в конечном итоге становится равной нулю либо капиталовооружённость ( ), либо потребление ( ) . Поскольку оптимальная траектория капиталовооружённости в модели имеет вид седла, её также называют «седловой путь» .

Динамика нормы сбережений по мере приближения к равновесному состоянию также показана на иллюстрации.

В рассматриваемой модели равновесия для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы .

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции , то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости , при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации посредством разложения в ряд Тейлора дифференциальных уравнений для и :

Из условий устойчивости следует, что угловой коэффициент у второго слагаемого ( ) во втором уравнении равен -1, а в первом — 0. Используя уравнения устойчивого состояния, можно записать линейные аппроксимации в следующем виде :

Решение этой системы уравнений имеет вид :

где — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Расчеты скорости конвергенции по модели Рамсея — Касса — Купманса с использованием параметров, близких к параметрам экономики США , предсказывают высокую скорость конвергенции, не наблюдаемую на реальных данных .

Фискальная политика в модели

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. Предполагается, что величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. В этом случае уравнение для примет следующий вид :

,
где — величина государственных расходов на единицу труда с постоянной эффективностью.

В результате фискальной политики кривая сдвигается вниз на величину и равновесие в модели устанавливается на прежнем уровне капиталовооружённости, но потребление снизится на величину . Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют потребление .

Влияние фискальной политики на равновесие проиллюстрировано при помощи фазовой плоскости.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Наиболее важный вклад модели Рамсея — Касса — Купманса состоит в том, что она раскрыла механизм формирования нормы сбережений через решения потребителей, а также стала основой для дальнейшего анализа того, как решения индивидов формируют накопления физического и человеческого капитала, и как следствие, научно-технический прогресс . Это стало большим шагом вперёд по сравнению с моделью Солоу , и во многом по этой причине модель стала отправной точкой для многих исследователей, которые использовали её концептуальный и математический аппарат для построения своих моделей . Неоклассическая модель экономического роста рассматривается во всех современных учебниках макроэкономики и теории экономического роста .

Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста, где в качестве экономического агента выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство): в АК-модели , модели обучения в процессе деятельности , модели Удзавы — Лукаса , модели растущего разнообразия товаров .

Включение в модель внешних эффектов от уровня физического и человеческого капитала (для чего в некоторых случаях пришлось отказаться от 2, 3 и 4 предпосылки неоклассической производственной функции) привело к развитию АК-моделей .

Мигель Сидрауски добавил в модель денежную массу , чтобы проанализировать влияние денежной эмиссии и инфляции на реальные показатели в экономике. В итоге в расширенной модели равновесие получилось таким же, как и в модели без денежной массы, что означает отсутствие влияния предложения денег на реальные показатели. Полученное свойство было названо нейтральностью денег .

В качестве недостатка модели некоторые исследователи указывали бесконечно живущего индивида (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя . По мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит . Этот факт был отражен в модели пересекающихся поколений , которая полностью отрицает альтруистические связи между поколениями .

Вместе с тем, модель не внесла существенного вклада в понимание причин межстрановых различий в уровне ВВП на душу населения и темпах его роста. Модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса , Дж. Де Лонга , П. Ромера . Есть лишь единичные примеры ( японское экономическое чудо , корейское экономическое чудо ) когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве своём сближения уровня развития не происходит . Также, как и в модели Солоу, научно-технический прогресс в модели Рамсея — Касса — Купманса не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задается экзогенно .

В модели невозможна динамическая неэффективность, решения для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы, а значит невозможно неоптимальное по Парето равновесие в экономике, потому модель не показывает, как неправильная экономическая политика или ограничивающие социальные институты могут замедлить развитие страны. Другими словами, модель не объясняет причин, по которым бедные страны остаются бедными и не могут догнать богатые .


Примечания

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. , с. 437.
  6. , с. 228.
  7. , с. 115.
  8. , с. 75.
  9. , с. 11172—11178.
  10. .
  11. , с. 437—445.
  12. , с. 228—229.
  13. , с. 445.
  14. , с. 187.
  15. , с. 233.
  16. , с. 36—47.
  17. , с. 438.
  18. , с. 229.
  19. , с. 91.
  20. , с. 440.
  21. , с. 230.
  22. , с. 447.
  23. , с. 13860.
  24. , с. 231.
  25. , с. 449.
  26. , с. 232.
  27. , с. 230—231.
  28. , с. 439.
  29. , с. 472.
  30. , с. 237.
  31. , с. 471.
  32. , с. 235.
  33. , с. 473.
  34. , с. 461.
  35. , с. 241.
  36. , с. 236—237.
  37. , с. 245—246.
  38. , с. 246.
  39. , с. 247.
  40. , с. 248.
  41. , с. 248—249.
  42. , с. 484.
  43. , с. 485.
  44. , с. 597—598.
  45. .
  46. , с. 501.
  47. , с. 252.
  48. , с. 253.
  49. .
  50. .
  51. .
  52. , с. 698.

Литература

  • Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС , 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9 .
  • Барро Р. Д. , Сала-и-Мартин Х. . — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4 .
  • Бланшар О. Ж. , Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС , 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5 .
  • Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М. : Изд. дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2 .
  • Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М. : ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6 .
  • (англ.) . // (англ.) . — 1965. — Vol. 32, № 3 . — P. 233—240.
  • De Long J. B. // (англ.) . — 1988. — Vol. 78, № 5 . — P. 1138—1154.
  • Hall R. E. , Jones C. I. // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812 . — doi : .
  • Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L. : Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8 .
  • Koopmans T.C. // Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University, Discussion Paper. — 1963. — № 163 .
  • Koopmans T.C. // Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta varia //The Econometric Approach to Development Planning - Part I. — 1965. — Vol. 28. — P. 225—300.
  • (англ.) . Ramsey Model // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L. : Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 11172—11178. — ISBN 978-1-349-95188-8 .
  • Ramsey F. P. // (англ.) . — 1928. — Vol. 38, № 152 . — P. 543—559.
  • Romer P. M. // NBER Working paper. — 1989. — № 3173 . — doi : .
  • Sidrauski M. (англ.) // (англ.) : journal. — 1967. — Vol. 57 , no. 2 . — P. 534—544 .
  • Spear S. E., Young W. // (англ.) . — 2014. — Vol. 18, № 1 . — P. 215—243. — doi : .
Источник —

Same as Модель Рамсея — Касса — Купманса