Моме́нт си́лы ( момент силы относительно точки ) — векторная физическая величина , характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы ${\displaystyle {\vec {r}}}$ и вектора силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ . Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент .

Момент силы обозначается символом ${\displaystyle {\vec {M}}}$ или, реже, ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ (тау).

Единица измерения в СИ : Н⋅м . Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей ( рычагов и др.) в технической механике . Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ${\displaystyle M_{\parallel }}$ ; такая проекция называется моментом силы относительно оси .

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела ${\displaystyle {\vec {L}}}$ относительно того же начала O со временем ${\displaystyle t}$ : имеет место соотношение ${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}}$ . В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

В простейшем случае, если сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$ приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины ${\displaystyle F}$ на расстояние ${\displaystyle x}$ от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

${\displaystyle M=Fx}$ .

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда ). При этом равновесие достигается в ситуации ${\displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}}$ .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения ${\displaystyle Fx}$ требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате ).

Момент силы относительно точки

В общем случае момент силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , приложенной к телу, определяется как векторное произведение

${\displaystyle {\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор ${\displaystyle {\vec {M}}}$ перпендикулярен векторам ${\displaystyle {\vec {r}}}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}}$ .

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела ${\displaystyle {\vec {L}}}$ , то начало O всегда выбирается одинаковым для ${\displaystyle {\vec {L}}}$ и ${\displaystyle {\vec {M}}}$ .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

${\displaystyle {\vec {M}}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор точки приложения ${\displaystyle i}$ -й силы ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ . В случае силы, распределённой с плотностью ${\displaystyle d{\vec {F}}/dV}$ ,

${\displaystyle {\vec {M}}=\int \limits _{V}\left[{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {F}}}{dV}}\right]dV}$ .

Если ${\displaystyle d{\vec {F}}/dV}$ (Н/м ³ ) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента ${\displaystyle {\vec {M}}}$ на ось, то есть

${\displaystyle M_{\parallel }={\vec {M}}\cdot {\vec {e}}_{o}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{o}}$ — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

${\displaystyle M_{\parallel }=\pm \left|{\vec {r}}_{\perp }\times {\vec {F}}_{\perp }\right|}$ ,

где через ${\displaystyle {\vec {r}}_{\perp }}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}_{\perp }}$ обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы ${\displaystyle {\vec {M}}}$ , величина момента силы относительно оси ${\displaystyle M_{\parallel }}$ не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а ${\displaystyle M_{\parallel }}$ (как и ${\displaystyle {\vec {M}}}$ ) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ . 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность ${\displaystyle {\vec {M}}}$ (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы .

Некоторые примеры

Формула момента рычага

Момент силы, действующей на рычаг, равен

${\displaystyle {\vec {M}}=rF\sin \alpha \cdot {\vec {e}}_{o}}$

или, если записать момент силы относительно оси,

${\displaystyle M_{\parallel }=rF\sin \alpha }$ ,

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно ${\displaystyle r\sin \alpha }$ . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ . При сонаправленности ${\displaystyle {\vec {F}}}$ и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие

Чтобы покоившийся объект сохранил состояние механического равновесия после приложения к нему сил, наряду с равенством нулю суммы этих сил, должна быть нулевой сумма моментов сил (правило моментов):

${\displaystyle \sum _{i}{\vec {M}}_{i}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]=0}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор места приложения силы ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ . Если ${\displaystyle \sum {\vec {F}}_{i}=0}$ , то выбор начала отсчёта ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ не принципиален.

В двумерном случае, когда тело плоское и силы действуют в его плоскости (скажем, ${\displaystyle xy}$ ), правило моментов превращается в условие на компоненту момента в третьем измерении ${\displaystyle \sum M_{iz}=0}$ .

Вариант правила для случая тела, «насаженного» на закреплённую ось: вращение отсутствует при нулевой сумме моментов ${\displaystyle M_{\parallel i}}$ относительно этой оси:

${\displaystyle \sum _{i}M_{\parallel i}=\left|\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i\perp }\times {\vec {F}}_{i\perp }\right]\right|=0}$ ,

то есть если суммы моментов сил, стремящихся повернуть рассматриваемое тело по и против часовой стрелки, равны.

Движение твёрдого тела

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

${\displaystyle {\vec {L}}_{o}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+[M({\vec {r}}_{o}-{\vec {r}}_{c}),{\vec {v}}_{c}]}$ .

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если ${\displaystyle I}$ — постоянная величина во времени, то

${\displaystyle {\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }},}$

где ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$ — угловое ускорение , измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с ² ). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

${\displaystyle {\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}].}$

Связь с другими величинами

С моментом импульса

Момент силы — производная момента импульса ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$ относительно точки O по времени:

${\displaystyle {\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}}$ ,

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

${\displaystyle M_{\parallel }={\frac {dL_{\parallel }}{dt}}}$ .

Если момент силы ${\displaystyle {\vec {M}}}$ или ${\displaystyle M_{\parallel }}$ равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется .

С мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}$ (где ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

${\displaystyle P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}}$ .

В системе СИ мощность ${\displaystyle P}$ измеряется в ваттах , угловая скорость ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ — в радианах в секунду .

С механической работой

Если под действием момента силы ${\displaystyle {\vec {M}}}$ происходит поворот тела на угол ${\displaystyle d\varphi }$ , то совершается механическая работа

${\displaystyle dA=\left|{\vec {M}}\right|d\varphi }$ .

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол ${\displaystyle \varphi _{2}-\varphi _{1}}$ получим

${\displaystyle A=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left|{\vec {M}}\right|d\varphi =\left|{\vec {M}}\right|(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\left|{\vec {M}}\right|\int _{t_{1}}^{t_{2}}\omega (t)dt}$ .

В системе СИ работа ${\displaystyle A}$ измеряется в джоулях , угол — в радианах .

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию ${\displaystyle 2\pi }$ джоуля.

Измерение момента силы

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — . Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими , магнитоупругими , а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными , индуктивными , ультразвуковыми , механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах , шуруповёртах , винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на рычаг ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок ${\displaystyle dl}$ , которому соответствует бесконечно малый угол ${\displaystyle d\varphi }$ . Обозначим через ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка ${\displaystyle dl}$ и равен ему по модулю. Угол между векторами ${\displaystyle {\vec {F}}}$ и ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ равен ${\displaystyle \beta }$ , а угол между векторами ${\displaystyle {\vec {r}}}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}}$ равен ${\displaystyle \alpha }$ .

Следовательно, бесконечно малая работа ${\displaystyle dA}$ , совершаемая силой ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на бесконечно малом участке ${\displaystyle dl}$ , равна скалярному произведению вектора ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ и вектора силы, то есть ${\displaystyle dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}}$ .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ через радиус-вектор ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , а проекцию вектора силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на вектор ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ — через угол ${\displaystyle \alpha }$ .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага ${\displaystyle dl}$ можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: ${\displaystyle dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi }$ , где в случае малого угла справедливо ${\displaystyle \mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi }$ и, следовательно, ${\displaystyle \left|d{\vec {l}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi }$ .

Для проекции вектора силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на вектор ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ видно, что угол ${\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$ , а так как ${\displaystyle \cos {\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha }$ , получаем, что ${\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha }$ .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: ${\displaystyle dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha }$ , или ${\displaystyle dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha \,d\varphi }$ .

Видно, что произведение ${\displaystyle \left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha }$ есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов ${\displaystyle {\vec {r}}}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , то есть ${\displaystyle \left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|}$ , которое и было принято обозначить за момент силы ${\displaystyle M}$ , или модуль вектора момента силы ${\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|}$ .

Теперь полная работа записывается просто: ${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi }$ , или ${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi }$ .

См. также

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона