Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения , которые связывают их площадь и объём с длиной окружности , описываемой барицентром . Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привёл). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину ( 1640 ) .

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии .

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры .

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой ${\displaystyle l}$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой ${\displaystyle l}$ .

Доказательство : Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через ${\displaystyle n}$ , сами точки через ${\displaystyle M_{1}}$ , ${\displaystyle M_{2}}$ , …, ${\displaystyle M_{n}}$ , массу каждой точки через ${\displaystyle m}$ , а расстояния точек от прямой ${\displaystyle l}$ через ${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$ , …, ${\displaystyle r_{n}}$ .

Для ${\displaystyle n=1}$ , утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для ${\displaystyle n-1}$ точки. Тогда их центр тяжести ${\displaystyle P}$ находится на расстоянии

${\displaystyle r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}}$ .

Заменим систему материальных точек ${\displaystyle M_{1}}$ , ${\displaystyle M_{2}}$ , …, ${\displaystyle M_{n-1}}$ точкой ${\displaystyle P}$ , сосредоточив в ней массу, равную ${\displaystyle (n-1)m}$ . Остаётся найти центр тяжести ${\displaystyle O}$ двух материальных точек ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle M_{n}}$ . Так как точка ${\displaystyle P}$ имеет массу ${\displaystyle (n-1)m}$ , а точка ${\displaystyle M_{n}}$ — массу ${\displaystyle m}$ , то

${\displaystyle PO:OM_{n}=1:(n-1)}$ .

Следовательно, если ${\displaystyle r^{*}}$ — расстояние от точки ${\displaystyle O}$ до прямой (рис. 1), то

${\displaystyle (r-r^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)}$ ,

откуда

${\displaystyle r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}+r_{n}}{n}}}$

Таким образом, утверждение леммы справедливо для ${\displaystyle n}$ материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является ${\displaystyle n}$ -звенной ломаной , у которой все звенья имеют одну и ту же длину ${\displaystyle m}$ . Середины звеньев ломаной обозначим через ${\displaystyle M_{1}}$ , ${\displaystyle M_{2}}$ , …, ${\displaystyle M_{n}}$ , а расстояния от этих точек до прямой ${\displaystyle l}$ — через ${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$ , …, ${\displaystyle r_{n}}$ . При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой ${\displaystyle l}$ получается поверхность , состоящая из ${\displaystyle n}$ частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

${\displaystyle S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n}}$ .

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна ${\displaystyle P=mn}$ , можно переписать выражение для площади

${\displaystyle S=P\cdot 2\pi R}$ ,

где

${\displaystyle R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}}$ ,

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек ${\displaystyle M_{1}}$ , ${\displaystyle M_{2}}$ , …, ${\displaystyle M_{n}}$ , в каждой из которых сосредоточена масса ${\displaystyle m}$ , согласно лемме, отстоит от прямой ${\displaystyle l}$ на расстоянии ${\displaystyle R}$ . Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию ${\displaystyle K}$ , при вращении которой при вращении вокруг оси ${\displaystyle l}$ получается поверхность ${\displaystyle Q}$ . Впишем в неё ломаную ${\displaystyle L}$ , содержащую ${\displaystyle m}$ звеньев. При вращении ${\displaystyle L}$ вокруг оси ${\displaystyle l}$ получим поверхность ${\displaystyle T}$ , площадь которой равна ${\displaystyle S=P\cdot 2\pi R}$ , где ${\displaystyle P}$ — длина ломаной ${\displaystyle L}$ , а ${\displaystyle R}$ — расстояние от центра тяжести ломаной ${\displaystyle L}$ до оси вращения ${\displaystyle l}$ .

Если считать ${\displaystyle m\to 0}$ , то длина ломаной ${\displaystyle L}$ будет стремиться к длине линии ${\displaystyle K}$ , площадь поверхности ${\displaystyle T}$ будет стремиться к площади поверхности ${\displaystyle Q}$ , центр тяжести ломаной ${\displaystyle L}$ будет стремиться к центру тяжести кривой ${\displaystyle K}$ . Так как для любого ${\displaystyle m}$ соотношение ${\displaystyle S=P\cdot 2\pi R}$ справедливо для ${\displaystyle L}$ , то переходя к пределу ${\displaystyle m\to 0}$ , найдем, что оно справедливо и для кривой ${\displaystyle K}$ .

Примечания

Литература

• Глейзер Г. И. История математики в школе. IX – X классы. — М. : Просвещение, 1983. — 351 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М. : Наука, 1969. — 800 с.