Ароматы в физике элементарных частиц
Ароматы
Лептонное число : L Барионное число : B Странность : S Очарование : C Прелесть : B' Истинность : T
Чётность
P-чётность : P С-чётность : C T-чётность : T CP-чётность : CP G-чётность : G R-чётность : R
Квантовые числа
Главное : n Орбитальное : l Магнитное : m Спин : S
Заряды
Изоспин : I или I z Слабый изоспин : T или T z Электрический заряд : Q Цветовой заряд : r,b,g
Комбинации
Гиперзаряд : Y Y = 2(Q − I z ) = B + S + C + B' + T Слабый гиперзаряд : Y W Y W = 2(Q − T z ) = B − L
См. также
CP-инвариантность CPT-инвариантность PMNS-матрица Хиральность

CKM-ма́трица , ма́трица Каби́ббо — Кобая́си — Маска́вы ( ККМ-матрица , матрица смешивания кварков , иногда раньше называлась KM-матрица ) в Стандартной модели физики элементарных частиц — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе слабых взаимодействий, изменяющих аромат . Технически, она определяет преобразование между двумя базисами квантовых состояний : состояниями свободно движущихся кварков (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в слабых взаимодействиях . Она важна также для понимания нарушения CP-симметрии . Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по . Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава , которые добавили одно поколение к матрице, ранее предложенной Николой Кабиббо .

Матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left|d\right\rangle \\\left|s\right\rangle \\\left|b\right\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left|d'\right\rangle \\\left|s'\right\rangle \\\left|b'\right\rangle \end{bmatrix}}.}$

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором сильных собственных состояний кварков, а справа имеем слабые собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка q к другому кварку q' . Эта вероятность пропорциональна ${\displaystyle \left|V_{qq'}\right|^{2}.}$

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны приблизительно :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{,}97427\pm 0{,}00015&0{,}22534\pm 0{,}00065&0{,}00351_{-0{,}00014}^{+0{,}00015}\\0{,}22520\pm 0{,}00065&0{,}97344\pm 0{,}00016&0{,}0412_{-0{,}0005}^{+0{,}0011}\\0{,}00867_{-0{,}00031}^{+0{,}00029}&0{,}0404_{-0{,}0005}^{+0{,}0011}&0{,}999146_{-0{,}000046}^{+0{,}000021}\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к единичной матрице .

Подсчёт

Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице V , которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть N поколений кварков ( 2 N ароматов ), то

1. комплексная матрица N × N содержит 2 N ² действительных чисел.
2. Ограничивающее условие унитарности ∑ _k V _ik V ^* _jk = δ _ij . Следовательно, для диагональных компонент ( i = j ) существует N ограничений, а для остающихся компонент — N ( N − 1) . Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно N ² .
3. Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на 2 N − 1 , то есть общее количество свободных переменных равно ( N ² − 2 N + 1) = ( N − 1)² .
4. Из них N ( N − 1)/2 — углы вращения, называемые кварковыми углами смешивания .
5. Оставшиеся ( N − 1)( N − 2)/2 являются комплексными фазами, вызывающими нарушение CP-инвариантности .

Если число поколений кварков N = 2 (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — угол смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется угол Кабиббо в честь Николы Кабиббо.

В Стандартной модели N = 3 , следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

Наблюдения и предсказания

Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:

1. переходы u ↔ d и e ↔ ν _e , μ ↔ ν _μ имели похожие амплитуды.
2. переходы с изменением странности Δ S = 1 имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности ( Δ S = 0 ).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания θ _c (теперь называемого углом Кабиббо) между d - и s -кварками , чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных каонов уже в 1964 году , появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в 1973 году Кобаяси и Маскавой. Открытие b -кварка в Фермилабе (группой Леона Ледермана ) в 1977 году немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — t -кварка .

Универсальность слабых переходов

Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

${\displaystyle \sum _{j}|V_{ij}|^{2}=1}$

для всех поколений i . Это предполагает, что сумма всех связей кварка u -типа со всеми кварками d -типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в 1967 году назвал это соотношение слабой универсальностью . Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты SU(2) взаимодействуют с векторными бозонами слабых взаимодействий с одинаковой константой связи . Это подтверждено во многих экспериментах.

Треугольники унитарности

Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0.}$

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого k , что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на комплексной плоскости . Существует шесть вариантов i и j , поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется треугольником унитарности . Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский , калифорнийский BaBar и эксперимент LHCb проекта LHC .

Параметризации

Для полного задания CKM-матрицы требуется четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, но наиболее популярны три.

KM-параметры

Изначально параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) и фазу CP-нарушения ( δ ).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}},}$

где θ ₁ — угол Кабиббо, c _i и s _i — соответственно косинус и синус угла θ _i .

«Стандартные» параметры

«Стандартная» параметризация CKM-матрицы использует три угла Эйлера ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) и фазу CP-нарушения ( δ ) . Смешивание между поколениями кварков i и j исчезает, если угол смешивания θ _ij стремится к нулю. Здесь θ ₁₂ — угол Кабиббо, c _ij и s _ij — соответственно косинус и синус угла θ _ij .

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

На текущий момент наиболее точные значения стандартных параметров :

θ ₁₂ = 13,04 ± 0,05 °,

θ ₁₃ = 0,201 ± 0,011 °,

θ ₂₃ = 2,38 ± 0,06 °,

δ ₁₃ = 1,20 ± 0,08 радиана.

Параметры Вольфенштейна

Третья параметризация CKM-матрицы, введёна Линкольном Вольфенштейном , использует параметры λ , A , ρ и η . Параметры Вольфенштейна являются числами порядка единицы и связаны со «стандартной» параметризацией следующими соотношениями:

λ = s ₁₂ ,

A λ ² = s ₂₃ ,

A λ ³ (ρ − i η) = s ₁₃ e ^{− i δ} .

Параметризация Вольфенштейна CKM-матрицы является аппроксимацией «стандартной» параметризации. Если ограничиться членами разложения до порядка λ ³ , она может быть представлена следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-\lambda ^{2}/2&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-\lambda ^{2}/2&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}.}$

CP-нарушение может быть определено измерением ρ − i η .

Используя значения из предыдущего подраздела, можно получить следующие значения параметров Вольфенштейна :

λ = 0,2257 +0,0009
−0,0010 ,

A = 0,814 +0,021
−0,022 ,

ρ = 0,135 +0,031
−0,016 ,

η = 0,349 +0,015
−0,017 .

См. также

• Стандартная модель (основы) и нарушение CP-инвариантности .
• Квантовая хромодинамика , аромат и сильная CP-проблема .
• PMNS-матрица , аналогичная матрица смешивания для нейтрино .
• Угол Кабиббо

Примечания

Ссылки

• М.: Физматлит, 2006, 368 с, страница 153. (djvu)
• Griffiths, David J. (неопр.) . — Wiley, John & Sons, Inc, 1987.
• Povh, Bogdan et al., (1995). Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts . New York: Springer. ISBN 3-540-20168-8
• CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) [ ISBN 0-521-44349-0 ]
• The experiment at SLAC and the experiment at KEK Japan
• (недоступная ссылка)