В физике элементарных частиц майора́новский фермио́н , или фермио́н Майора́ны — фермион , который является своей собственной античастицей . Существование таких частиц было впервые рассмотрено итальянским физиком Этторе Майораной в 1937 году . В экспериментах с полупроводниковыми нанопроволоками наблюдались квазичастицы , обладающие свойствами майорановского фермиона. Экспериментальное обнаружение майорановских частиц как в физике высоких энергий, так и в области физики твёрдого тела приведёт к важным последствиям для науки в целом .

В физике элементарных частиц

Предполагается, что нейтрино может быть либо фермионом Майораны, либо фермионом Дирака (в Стандартной модели все фермионы, включая нейтрино, являются дираковскими). Экспериментального подтверждения этого всё ещё нет, и теория Майораны, в итоге, может оказаться опровергнутой . В первом случае различие между нейтрино и антинейтрино определяется только их спиральностью : превращение нейтрино в антинейтрино можно осуществить переворотом спина (или, например, переходом в систему отсчёта, в которой импульс нейтрино направлен в противоположном направлении, что, правда, осуществимо лишь при ненулевой массе нейтрино). Если электронное нейтрино является фермионом Майораны и при этом массивно, то некоторые изотопы могут испытывать безнейтринный двойной бета-распад ; при существующей чувствительности экспериментов этот распад пока не обнаружен, хотя в мире проводятся десятки экспериментов по поиску этого процесса .

Гипотетические частицы нейтралино в суперсимметричных моделях являются фермионами Майораны. Поэтому открытие майорановских фермионов будет дополнительным аргументом для теорий суперсимметрии .

Майорановские частицы, в отличие от дираковских, не могут обладать магнитным дипольным моментом (кроме недиагональных компонент магнитного момента, изменяющих аромат ) . Слабое взаимодействие с электромагнитными полями делает майорановские фермионы кандидатами для частиц холодной тёмной материи .

16 июля 2013 года коллаборация сообщила , что в результате обработки данных первой фазы долговременного эксперимента, проводящегося в итальянской подземной лаборатории Гран-Сассо на криогенном полупроводниковом мультидетекторе, состоящем из германия , обогащённого германием-76, не был обнаружен безнейтринный двойной бета-распад этого изотопа (нижнее ограничение на период полураспада — не менее 3·10 ²⁵ лет). Это, как и ряд более ранних и менее чувствительных экспериментов, свидетельствует в пользу того, что нейтрино не является майорановской частицей; точнее, ограничивает сверху так называемую майорановскую массу электронного нейтрино, которая для дираковского фермиона должна быть в точности равна нулю. Установленное верхнее ограничение равно приблизительно 0,2—0,4 эВ . В настоящее время ряд как действующих, так и находящихся на стадии планирования и разработки экспериментов по поиску безнейтринного двойного бета-распада нацелен на улучшение инструментальной чувствительности . Последние доступные данные для оценок снизу для полураспада и оценок сверху для массы приведены в таблице на февраль 2023 года .

Оценка параметров

Эксперимент	Изотоп	Полураспад	Масса
Gerda	76 Ge	8,0·10 25 лет	0,12—0,26 эВ
Majorana	76 Ge	1,9·10 25 лет	0,24—0,53 эВ
KamLAND-Zen	136 Xe	10,7·10 25 лет	0,05—0,16 эВ
EXO	136 Xe	1,1·10 25 лет	0,17—0,49 эВ
CUORE	130 Te	1,5·10 25 лет	0,11—0,50 эВ
KamLAND-Zen	136 Xe	2,3·10 26 лет	0,036—0,156 эВ

Уравнение Дирака

Математически, фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi (x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi (x,t),}$

где m — масса частицы, а матрицы α и β удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {α _i , α _j } = 2δ _ij , {α _i , β} = 0, β ² = 1. Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде

${\displaystyle \alpha _{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{1}\\\sigma _{1}&0\end{pmatrix}},\quad \alpha _{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{3}\\\sigma _{3}&0\end{pmatrix}},\quad \alpha _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \beta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{pmatrix}},}$

благодаря чему в исходном уравнении все коэффициенты получаются мнимыми. Тогда уравнение, сопряжённое уравнению Дирака, не меняется:

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi ^{*}(x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi ^{*}(x,t).}$

Решению сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей ( ${\displaystyle \psi ^{*}=\psi }$ ) и называется майорановским фермионом . Существует бесконечное множество матриц ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ .

Решениями этого уравнения выступает четырёхкомпонентный спинор, но такую систему из четырёх уравнений Майораны можно привести к виду двух независимых систем (из двух уравнений каждая) с решениями в виде левых ( ${\displaystyle \psi _{L}}$ ) и правых ( ${\displaystyle \psi _{R}}$ ) майорановских фермионов. Причём массы ( m _L и m _R ) в этих новых частицах не обязательно совпадают :

${\displaystyle (i\partial _{t}-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\psi _{R}-im_{R}\sigma _{2}\psi _{R}^{*}=0,}$

${\displaystyle (i\partial _{t}+{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\psi _{L}-im_{L}\sigma _{2}\psi _{L}^{*}=0.}$

Эти уравнения можно получить, используя вариационный принцип в общем виде, исходя из лагранжиана электрослабого взаимодействия . Здесь интерес представляет выбор массового слагаемого в лагранжиане, вид которого определяет дираковский или майорановский фермионы используются в теории . Раньше такого вопроса не возникало из-за предположения о безмассовости нейтрино. Но открытие нейтринных осцилляций поставило вопрос о конечности масс этих истинно нейтральных фермионов. Если представить, что антинейтино и нейтрино на самом деле одна и та же частица (то есть майорановский фермион), то объяснение большой разницы в массах между нейтрино и другими лептонами может дать механизм качелей . Например, в этом случае, масса ненаблюдаемого экспериментально правого нейтрино велика по сравнению с массой электрона ( m _D ), а масса левого составит малую величину порядка ${\displaystyle m_{D}^{2}/m_{R}}$ .

В физике твёрдого тела

Если в физике высоких энергий вопрос о существовании или несуществовании майорановских фермионов остаётся открытым, то никаких сомнений в существовании в сверхпроводниках аналогичных элементарных возбуждений, предсказанных теоретически, нет . Вопрос заключается в демонстрации каких-либо связанных с ними наблюдаемых эффектов из-за технических сложностей . Некоторые квазичастицы (различные возбуждения коллективных состояний в твердотельных системах , ведущие себя подобно частицам) могут описываться как майорановские фермионы, причём их существует несколько типов в связи с возможностью выбрать размерность системы. В физике твёрдого тела майорановские фермионы также называются майорановскими состояниями , чтобы отличать их от решения трёхмерного уравнения Майораны. Интерес к таким квазичастицам (предсказанным, но пока не открытым экспериментально) связан с тем, что они теоретически могут использоваться в кубитах для — например, для сохранения информации, — при этом из-за своей нелокальной природы они менее чувствительны к влиянию среды . В одномерных системах говорят не о майорановских фермионах, а о майорановских локализованных состояниях , которые не перемещаются в системе свободно, благодаря чему сохраняют свои свойства из-за большого времени декогеренции . Возможное экспериментальное обнаружение таких объектов в комбинированных полупроводниковых-сверхпроводниковых наносистемах в сильном магнитном поле требует независимого подтверждения в связи со сложностью детектирования и существованием возможных альтернативных объяснений .

Майорановские фемионы могут существовать в экзотических системах, которые достаточно трудно реализуются на практике, например в p -волновых сверхпроводниках , полупроводниках в режиме дробного квантового эффекта Холла с фактором заполнением 5/2, на поверхности топологических изоляторов с использованием от s -волновых сверхпроводников , либо используя эффект близости между сверхпроводником и ферромагнетиком. С другой стороны, в 2010 году опубликовали две статьи, которые показали, как создать майорановские фермионы в полупроводниковых нанопроволоках .

Игрушечная модель Китаева

Алексей Китаев предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового в терминах вторичного квантования

${\displaystyle H_{K}=\sum _{j=1}^{N}\left(-t(a_{j}^{\dagger }a_{j+1}+a_{j+1}^{\dagger }a_{j})-\mu \left(a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\Delta e^{i\theta }a_{j}a_{j+1}+\Delta e^{-i\theta }a_{j+1}^{\dagger }a_{j}^{\dagger }\right)\,,}$

где t — интеграл перескока, μ — химический потенциал, Δ и θ — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи ${\displaystyle c_{2j-1}=e^{i\theta /2}a_{j}+e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle c_{2j}=-i\left(e^{i\theta /2}a_{j}-e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }\right)}$ , которые приводят к новому виду гамильтониана

${\displaystyle H_{K}={\frac {-i}{2}}\sum _{j=1}^{N}\mu c_{2j-1}c_{2j}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}[(t+\Delta )c_{2j}c_{2j+1}+(-t+\Delta )c_{2j-1}c_{2j+2}]\,.}$

Теперь рассмотрим два предельных случая что проиллюстрировано на : в первом случае химический потенциал меньше нуля, μ<0, а остальные параметры обращаются в ноль, Δ=t=0. Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, μ=0, а интеграл перескока и параметр порядка равны, Δ=t>0, то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырожденный уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы ${\displaystyle f=1/2(c_{1}+ic_{N})}$ . А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}+ic_{2j+1})}$ , ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}-ic_{2j+1})}$ :

${\displaystyle H_{t}=2t\sum _{j=1}^{L-1}\left(d_{j}^{\dagger }d_{j}-{\frac {1}{2}}\right)\,.}$

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться. В качестве возможного материала для реализации майорановских состояний Китаев предложил использовать нанопроволоки из p-волнового сверхпроводника, то есть одномерные сверхпроводники с триплетным состояниями куперовских пар .

Полупроводниковые нанопроволоки

В работах 2010 года наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В работе рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида

${\displaystyle H=\int \Psi ^{\dagger }\left[\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)\tau _{z}\otimes \sigma _{0}+\alpha k\tau _{z}\otimes \sigma _{z}+\Delta _{Z}\tau _{0}\otimes \sigma _{x}+\Delta _{sc}\tau _{x}\otimes \sigma _{0}\right]\Psi dy,}$ (1)

где волновая функция имеет вид ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }=(\psi _{\uparrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow },-\psi _{\uparrow })}$ . Первое слагаемое в подынтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении y , спин-орбитальное взаимодействие вдоль x , а магнитное поле вдоль z . Матрицы Паули ${\displaystyle \sigma }$ , ${\displaystyle \tau }$ действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида

${\displaystyle E_{\pm }^{2}=\Delta _{Z}^{2}+\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+(\alpha k)^{2}\pm 2{\sqrt {\Delta _{Z}^{2}\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}\left((\alpha k)^{2}+\Delta _{Z}^{2}\right)}}.}$ (2)

Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона ${\displaystyle \Delta =|\Delta _{Z}-{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}|}$ . Когда выполняется условие ${\displaystyle \Delta _{Z}>{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}}$ говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида α k приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель ${\displaystyle \Delta _{sc}}$ в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней ${\displaystyle \Delta _{Z}}$ , которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве ${\displaystyle \Delta _{Z}=\Delta _{sc}}$ (химический потенциал ${\displaystyle \mu =0}$ ) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимости .

Модель Фу — Кейна

В двумерном случае реализация майорановских фермионов оказалась возможна в модели предложенной учёными и Чарльзом Кейном в 2008 году . Использовав модель топологического изолятора (проводимость в таких материалах существует только на поверхности) с нанесённым на его поверхность тонкого слоя сверхпроводника s-типа, они рассмотрели гамильтониан для волновой функции (в формализме Намбу) ${\displaystyle \Psi =((\psi _{\uparrow },\psi _{\downarrow }),(\psi _{\uparrow }^{\dagger },-\psi _{\downarrow }^{\dagger }))^{T}}$ , где стрелками обозначены проекции спина, а индекс T отвечает за транспонирование , вида

${\displaystyle H=-iv\tau ^{z}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}-\mu I\tau ^{z}+\Delta _{0}I(\tau ^{x}\cos(\phi )+\tau ^{y}\sin(\phi ))\,,}$

где v — скорость электрона на уровне энергии Ферми (фермиевская скорость), I — единичная матрица, σ =(σ ^x ,σ ^y ) — двумерный вектор составленный из матриц Паули, действующие на спиновые состояния, τ ^x и τ ^y — матрицы Паули действующие на пары ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ , смешивая их между собой, μ — химический потенциал , Δ ₀ — параметр порядка сверхпроводника. Блочная часть гамильтониана ${\displaystyle H_{0}=-iv{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}-\mu I}$ — это гамильтониан для квазичастиц возникающий на поверхности топологического изолятора. Куперовские пары из сверхпроводника из-за эффекта близости могут находиться на поверхности топологического изолятора, приводя к эффективному гамильтониану взаимодействию аналогичному сверхпроводнику p-типа, где по теории Китаева существуют майорановские фермионы. Отличие состоит в симметрии этого гамильтониана по отношению к обращению времени , что приводит к дополнительному . Но используя внешнее магнитное поле ориентированное перпендикулярно поверхности сверхпроводника, которое нарушает симметрию по обращению времени, возможно сформировать сверхпроводящие вихри в рассматриваемой системе. Расчёт показывает, что майорановский фермион возникает в ядре вихря .

Примечания

Литература

• Steven R. Elliott, Marcel Franz. // Rev. Mod. Phys.. — 2015. — Т. 87 . — С. 137—163 . — doi : . — arXiv : .