Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:

• смещённая;
• несмещённая, или исправленная

Определения

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ — выборка из распределения вероятности . Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}}$ ,

где символ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ обозначает выборочное среднее ;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$ .

Замечание

Очевидно,

${\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}S_{n}^{2}}$ .

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения . Более точно, пусть ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функция ${\displaystyle {\hat {F}}(\omega ,x)}$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения . Дисперсия этого распределения равна ${\displaystyle S_{n}^{2}(\omega )}$ .

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если ${\displaystyle \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$ , то

${\displaystyle S_{n}^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}}$

и

${\displaystyle S^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}}$ ,

где символ « ${\displaystyle \to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }}$ » обозначает сходимость по вероятности .

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}}$ ,

и

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}}$ .

• Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат . Пусть ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots }$ . Тогда

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)}$ .

См. также

• Дисперсия случайной величины
• Выборочное среднее
• Несмещённая оценка
• Дисперсия Аллана
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки