Среднее квадратическое ( квадратичное ) — число ${\displaystyle s}$ , равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ :

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Среднее квадратическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних . В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического :

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Среднее квадратическое находит широкое применение во многих науках. В частности, через него определяется основное понятие теории вероятностей и математической статистики — дисперсия (квадратный корень из которой называется среднеквадратическим отклонением ). Также тесно связан с этим понятием метод наименьших квадратов , имеющий общенаучное значение.

Свойства

• Среднее квадратическое набора неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

Параметр RMS

В разных технических приложениях вводится параметр RMS ( англ. root mean square ). Для дискретной величины ${\displaystyle a}$ он вычисляется по вышеприведённой формуле ${\displaystyle s}$ , а для непрерывной или считающейся непрерывной — как

${\displaystyle RMS=\left({\frac {1}{X}}\int _{0}^{X}a^{2}(x)\,dx\right)^{1/2}}$ ,

где ${\displaystyle a}$ — исследуемая величина, изменяющаяся в зависимости от другой величины ${\displaystyle x}$ при пробегании последней значений от 0 до ${\displaystyle X}$ .

Так, для измерения напряжения переменного тока простые измерительные приборы преобразуют сигнал ${\displaystyle I(t)}$ в постоянный ток ${\displaystyle I_{eff}}$ эквивалентной величины — среднеквадратичного значения RMS. То есть в данном случае роль ${\displaystyle x}$ играет время ${\displaystyle t}$ , роль ${\displaystyle a}$ — мгновенное значение тока ${\displaystyle I}$ , роль ${\displaystyle X}$ — достаточно большой интервал времени обработки сигнала. Сигнал фильтруется в среднее выпрямленное значение с поправочным коэффициентом. Как правило, при этом значение коэффициента отвечает именно синусоидальному сигналу. Однако, есть приборы, способные учесть произвольную форму сигнала; тогда даётся маркировка «True RMS» — истинное ( англ. true ) среднеквадратичное значение.

Ещё один пример — использование RMS как показателя шероховатости поверхности . Тогда роль ${\displaystyle x}$ может играть декартова координата вдоль исследуемой поверхности в пределах ${\displaystyle 0...l}$ , а роль ${\displaystyle a}$ — отклонение высоты точки на поверхности от номинального положения (при абсолютной гладкости всюду ${\displaystyle a=0}$ ). Зависимость ${\displaystyle a(x)}$ может быть получена, скажем, с помощью атомно-силового микроскопа : вначале записывается профиль рельефа ${\displaystyle z(x)}$ , затем находится среднее значение ${\displaystyle <z>=l^{-1}\int z(x)\,dx}$ и далее ${\displaystyle a(x)=z(x)-<z>}$ , после чего рассчитывается RMS.

Примечания

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Добавить иллюстрации . Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.