Interested Article - Спинор

Спино́р ( англ. spin — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора , применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Суть спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S , так чтобы V вкладывалось в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе).

Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл.

Однако на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно: вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).Спиноры можно представить в виде обыкновенных комплексных векторов, но в пространстве с антисимметричной метрикой, например:

.

Индексы спиноров бывают пунктирные и непунктирные, так как по некоторым индексам спинор преобразуется как комплексно сопряжённый.

Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел , то векторы из V будут описаны в S эрмитовыми матрицами .

Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда , построенной по изучаемому пространству V .

Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году . Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике .

Определение

Спинором первого ранга называется вектор в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

,
,

с детерминантом преобразования, равным единице:

.

Спинор также обозначается как .

Коэффициенты являются комплексными числами.

Для каждого спинора существует коспинор в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

,
,

где чёрточками отмечены комплексно-сопряжённые величины. Индексы у коспиноров помечаются точками.

Спинорами высших рангов называются величины, которые преобразуются как произведения спиноров первого ранга. Например, спинор второго ранга преобразуется как произведение спиноров первого ранга . Смешанный спинор второго ранга преобразуется как произведение спиноров первого ранга .

В спинорной алгебре, как и в тензорной алгебре, справедливо правило суммирования по повторяющимся вверху и внизу индексам и существует метрический спинор второго ранга и определяемый следующим образом:

,
,
,
.

Свойства

Координаты спиноров и коспиноров связаны следующими соотношениями:

, ,
, ,

Абсолютная величина любого спинора нечётного ранга равна нулю:

,
,
.

С помощью спиноров вводятся дифференциальные операторы, инвариантные при бинарных преобразованиях.

Компонентам четырёхмерного градиента соответствуют операторы:

,
,
,
.

Трёхмерное пространство

Для представления 3-мерного пространства в качестве S необходимо взять 2-мерное комплексное пространство

Векторы трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом .

Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй , близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона . А именно, с каждым вектором x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) из вещественных (или комплексных ) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу :

где матрицы Паули (они ассоциированы с базисными векторами e 1 , e 2 , e 3 ).

Матрицы X такой формы, ассоциированные с векторами x , обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

  • det X = −(длина x ) 2 .
  • X 2 = (длина x ) 2 I , где I — единичная матрица.
  • где Z — матрица, ассоциированная с векторным произведением z = x × y .
  • Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости, ортогональной u .
  • Согласно линейной алгебре , любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трёх (вообще, нечётного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях, перпендикулярных единичным векторам u 1 и u 2 , то матрица U 2 U 1 XU 1 U 2 представляет вращение R вектора x .

Вся геометрия вращений 3-мерного пространства может быть представлена набором комплексных 2×2-матриц. Рассмотрим вопрос, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец:

с комплексными компонентами ξ 1 и ξ 2 . В пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Факторизация вращения не единственна. Если X RXR −1 есть представление вращения, то замена R на R даст то же самое вращение. Можно показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Пространство Минковского

Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M :

При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида , где .

Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M ≈Herm(2) будет взаимно-однозначным .

Спиноры в физике

Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин , уравнение Дирака ). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского. Например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла .

При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.

См. также

Примечания

  1. Ван дер Верден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике , М., Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00700-3
  2. Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела, М., ИЛ, 1957

Литература

  • Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве / Пер. с англ. — М.: Мир, 1978. — 126 с.
  • Желнорович В. А. Теория спиноров и её применение в физике и механике. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
  • Желнорович В. А. Теория спиноров и её применения. — М.: Август-Принт, 2001. — 400 с. — ISBN 5-94681-001-4
  • Картан Э. Теория спиноров / Пер. с франц. — М.: ГИИЛ, 1947.
  • Пенроуз Р. , Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Том 2 / Пер с англ. — М.: Мир, 1988. — 584 с.
  • Рашевский П. К. Теория спиноров. — Изд. 2-е. — М.: КомКнига, 2006. — 112 с. — ISBN 5-484-00348-2
  • Румер Ю. Б. Спинорный анализ. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 104 с.
  • Яппа Ю. А. Введение в теорию спиноров и её приложения в физике: Учебное пособие / Под ред. В. А. Франке. — СПб. : Изд-во СПбГУ, 2004. — 256 с. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Ссылки

  • [bse.sci-lib.com/article105279.html «Спинорное исчисление»] в БСЭ .
Источник —

Same as Спинор