Interested Article - Символ Леви-Чивиты
![](/images/008/660/8660732/1.jpg?rand=668964)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/cec9818936add98229817fb432540b18.gif)
- 2021-10-07
- 1
Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе . Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты . Обозначается . Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см. ниже).
Другие названия:
- абсолютно антисимметричный единичный тензор ,
- полностью антисимметричный единичный тензор ,
- абсолютно кососимметричный объект ,
- тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора),
- кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга).
Определение
![](/images/008/660/8660732/2.jpg?rand=919378)
В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:
то есть для чётной перестановки индексов i , j , k он равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки равен -1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (при наличии повторяющихся индексов). Для компонент в левом базисе берутся противоположные числа.
Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на
где — определитель матрицы метрического тензора , представляющий квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на базис. Аналогично, для левого базиса берутся противоположные числа.
Такой набор компонент представляет собой (истинный) тензор . Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор . При этом будет таким же, но с заменой на
может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:
Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объёму параллелепипеда, натянутого на базис . Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведённым выше.
Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя в любых базисах (то есть таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в определении выше для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на объект (совпадающий с в определении выше и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, . Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трёхмерного пространства, но и для любой размерности.)
Геометрический смысл
Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объёмом и ориентированной площадью, представленной как вектор.
В трёхмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трёх векторов
— это ориентированный объём ( псевдоскаляр , модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда , натянутого на три вектора , и .
Векторное произведение двух векторов
— это ориентированная площадь параллелограмма , стороны которого — векторы и , представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.
Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n , если, конечно, брать с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n -мерный объём, а под площадью — ( n − 1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и ( n − 1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:
Свойства
-
Определитель
матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается
, а следовательно
ортонормированный базис
) как
-
Векторное произведение
двух пространственных векторов записывается через этот символ:
- , где — его компоненты, а — векторы базиса.
-
Смешанное произведение
векторов тоже:
-
В следующей формуле
обозначает
символ Кронекера
:
-
Суммирование по общему индексу даёт
-
В случае двух общих индексов
тензор сворачивается следующим образом:
(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)
Обобщение на случай n измерений
Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:
-
если есть чётная перестановка набора если есть нечётная перестановка набора , если хотя бы два индекса совпадают.
То есть он равен , умноженному на корень из определителя метрики в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора , а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства .)
- В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что , вместо него как правило берут , чтобы получался вещественным.
- Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определён метрический тензор, или, скажем, или .
Можно показать, что для измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:
- — что связано с тем, что существует перестановок набора , а следовательно, столько же ненулевых компонент с индексами.
- После раскрытия определителя появляется множитель и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.
-
Псевдоскалярное произведение
двух векторов в двумерном пространстве:
-
Определитель
матрицы
размера
можно удобно записать с использованием
-мерного символа Леви-Чивиты
- что является, по сути, просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространённых). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты принимают тут значения .
-
Прямое
-мерное обобщение
векторного произведения
штук (
-мерных) векторов:
- где — его компоненты, а — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе.)
-
Прямое
-мерное обобщение
смешанного произведения
штук (
-мерных) векторов:
Безындексная запись (для n измерений)
В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа , или просто оператор звездочка:
(для произвольного тензора учитывая эйнштейновское правило суммирования ).
См. также
Ссылки
- Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers , (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. с. 31).
- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности ).
- Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация . — М. : Мир, 1977 (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
- Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление , М. : Высшая школа, 2001. — 575 с.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/cec9818936add98229817fb432540b18.gif)
- 2021-10-07
- 1