Спектра́льная пло́тность мо́щности (СПМ) — в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала по частотам , а именно мощность, приходящуюся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии . Например, в Международной системе единиц (СИ) это Вт/с ⁻¹ (Вт·с) или Вт / Гц , смотря по тому, какая частота используется: ${\displaystyle \omega }$ (c ^-1 ) или ${\displaystyle f}$ (Гц). Общепринятого значка для СПМ нет, нередко используется символ ${\displaystyle S}$ . Единичный интервал по ${\displaystyle \omega }$ в ${\displaystyle 2\pi }$ раза шире, чем по ${\displaystyle f}$ , поэтому ${\displaystyle S_{\omega }=2\pi S_{f}}$ .

Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде , например, акустических . В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади , например: (Вт/c ^-1 )·м ^-2 (формально можно заменить на Дж·м ^-2 , но тогда физическое содержание величины становится менее наглядным).

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle x(t)}$ — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени ${\displaystyle \left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]}$ . Тогда энергия сигнала на данном интервале равна:

${\displaystyle E_{T}=\int \limits _{-T/2}^{T/2}x^{2}(t)\,\mathrm {d} t}$ .

В соответствии с теоремой Парсеваля ${\displaystyle E_{T}}$ представима в виде:

${\displaystyle E_{T}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|F_{T}(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega }$ ,

где ${\displaystyle F_{T}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-i\omega t}\,dt}$ — преобразование Фурье от ${\displaystyle x(t)}$ .

При ${\displaystyle T\to +\infty }$ , средняя мощность имеет вид:

${\displaystyle W=\lim _{T\to +\infty }{\frac {E_{T}}{T}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(\omega )|^{2}}{T}}\,\mathrm {d} \omega }$ .

${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(\omega )|^{2}}{T}}}$ — спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности) или энергетический спектр сигнала.

Спектральная плотность мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектральные плотности мощности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье , предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за трудоёмкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена — Тьюки) и периодограммному методу. Также используется коррелограммный метод .

См. также

• Спектральная плотность
• Случайный процесс
• Спектр
• Преобразование Фурье
• Амплитудно-частотная характеристика
• Спектральная плотность излучения
• Периодограмма

Литература

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985 .
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982 .
• Прокис Дж. = Digital Communications / Кловский Д. Д.. — М. : Радио и связь, 2000. — С. -63. — 800 с. — ISBN 5-256-01434-X .