В физике , планковская угловая частота это единица угловой частоты , обозначаемая как ${\displaystyle \omega _{\text{P}}}$ , определённая в терминах фундаментальных констант в натуральных единицах, так же известных как планковские единицы .

Планковская угловая частота определяется как величина обратная планковскому времени ^{[ источник не указан 2411 дней ]} ${\displaystyle t_{\text{P}}}$ . С учётом этого для планковской угловой частоты выполняется :

${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\approx 5,39116(13)\cdot 10^{-44}}$ c ,

${\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\approx 1,85487\cdot 10^{43}}$ c ^-1 ,

где:

${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме ,

${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Дирака ( постоянная Планка , делённая на ${\displaystyle 2\pi }$ ),

${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная ,

${\displaystyle t_{\text{P}}}$ — планковское время.

Некоторые свойства планковской угловой частоты

Колебания и волны

• Обычная частота , соответствующая планковской угловой частоте: ${\displaystyle f={\frac {\omega _{\text{P}}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi ^{2}\hbar G}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{2\pi hG}}}={\sqrt {\frac {2\epsilon _{G}c^{5}}{h}}}=2{\sqrt {\frac {c}{\varkappa h}}}\approx }$ 2,95212 ⋅10 ⁴² Гц ,

где ${\displaystyle \ h}$ — постоянная Планка , ${\displaystyle \epsilon _{G}={\frac {1}{4\pi G}}}$ — гравитационная электро-подобная константа , ${\displaystyle \varkappa ={8\pi G \over c^{4}}}$ — гравитационная постоянная Эйнштейна .

• Период , соответствующий планковской угловой частоте, равен ${\displaystyle 2\pi t_{\text{P}}}$ , то есть планковскому времени , умноженному на ${\displaystyle 2\pi }$ .
• Фаза :
  • Фаза колебаний , угловая частота которых равна планковской, изменяется на 1 рад за планковское время .
  • Фаза гармонического колебания с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой, выраженная в радианах, в момент времени t численно равна времени t, выраженному в планковских единицах .
  • Выраженная в радианах фаза в момент времени t в точке с координатой x распространяющейся со скоростью света в вакууме 1-мерной плоской гармонической волны с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой численно равна x-t, если x выражено в единицах l _P , а t в единицах t _P .
  • Изменение фазы гармонического колебания за планковское время , выраженное в радианах, численно равно угловой частоте данного колебания, выраженной в единицах ω _P .

Вращение

• При равномерном вращении или движении по окружности изменение за планковское время , выраженное в радианах, численно равно угловой скорости вращения, выраженной в единицах ω _P .
• При вращении или движении по окружности с угловой скоростью , равной планковской угловой частоте, изменяется на 1 рад за планковское время .
• Угловая скорость точки , равномерно движущейся со скоростью света в вакууме по окружности радиусом l _{P ,} равна ω _P .

Сигналы

• Из теоремы Котельникова вытекает следующее. Если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, причём угловая частота верхней границы спектра меньше или равна ${\displaystyle \omega _{\text{P}}}$ (то есть ${\displaystyle f_{c}\;\leq {\frac {\omega _{\text{P}}}{2\pi }}=2{\sqrt {\frac {c}{\varkappa h}}}}$ ), то такой сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам с частотой дискретизации , большей или равной ${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {2\epsilon _{G}c^{5}}{h}}}=4{\sqrt {\frac {c}{\varkappa h}}}\approx }$ 5,90424 ⋅10 ⁴² Гц .

Электромагнитные колебания

• Длина распространяющейся в вакууме ЭМ волны с планковской угловой частотой равна планковской длине , умноженной на ${\displaystyle 2\pi }$ .
• Энергия кванта излучения такой частоты равна планковской энергии .
• Электрический градус переменного тока планковской угловой частоты равен планковскому времени , умноженному на ${\displaystyle 2\pi }$ и делённому на 360, то есть ${\displaystyle {\frac {2\pi t_{\text{P}}}{360}}}$ ≈ 9,40917⋅10 ⁻⁴⁶ с .

Зрение

• Монохроматический зелёный свет с частотой 540⋅10 ¹² Гц , о котором говорится в определении канделы , имеет угловую частоту 1,829195613 ⋅10 ^-28 ω _P .

Музыка

• Самый низкий звук , воспринимаемый человеческим ухом ( 16 Гц ), имеет угловую частоту примерно 5,419839 ⋅10 ^-42 ω _P . Самый высокий (20000 Гц ) — около 6,77480 ⋅10 ^-39 ω _P . Поэтому можно сказать, что человек слышит звуки в диапазоне угловых частот от 5,419839 ⋅10 ^-42 ω _P до 6,77480 ⋅10 ^-39 ω _P .
• Угловая частота эталонного тона « ля » 1-й октавы в 12-звуковом строе ( Гц ) примерно равна 1,49046 ⋅10 ^-40 ω _P . Соответственно, угловая частота произвольной ступени 12-РДО равна 1,49046 ⋅10 ^-40 * ${\displaystyle \cdot 2^{i/12}}$ ω _P , где i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону . В частности,
  • Угловая частота основного тона самой низкой ноты в диапазоне современного фортепиано ( ля субконтроктавы , 27,5 Гц ) — примерно 9,315348⋅10 ^-42 ω _P ; самой высокой ( до 5-й октавы , 4186,0 Гц ) — около 1,417968 ⋅10 ^-39 ω _P .
  • Сама планковская угловая частота формально-математически соответствует примерно тону до - диез ( или ре - бемоль ) 134-й октавы (на 38,3556 цента ниже) 12-звукового равномерно темперированного строя .

Примечания